Nghiên cứu Độc lập Lưới: Lưới Độc lập có thực sự là tốt nhất?

8

Tôi đang chạy một nghiên cứu độc lập lưới. Tôi bắt đầu với Lưới 1 và tiến tới Lưới 4 , mỗi lần nhân đôi số ô trong lưới. Song song, tôi đang so sánh kết quả tính toán của mình với dữ liệu thử nghiệm. M. 1 cho thấy kết quả kém. M. 2 cho thấy một sự cải thiện đáng kể và phù hợp với kết quả thí nghiệm. M. 3 và M. 4 cho kết quả giống hệt nhau, chỉ khác một chút so với M. 2 . Sau đó, có vẻ hợp lý khi chọn M. 3 là lưới cuối cùng của tôi. Nhưng dường như kết quả quá suôn sẻ, mất đi một số chi tiết đẹp, được sản xuất bởi M. 2 (và quan sát trong các thí nghiệm).

Thực sự có thể có một số loại quá mức ? Có thể là giải pháp độc lập lưới không phải là giải pháp tốt nhất?

fluid-dynamics mesh

— Bánh mì kẹp thịt AL
nguồn

10

Không. Vì kích thước mắt lưới , giải pháp trên một lưới nhất định hội tụ với giải pháp của phương trình vi phân (giả sử PDE được đặt đúng vị trí và phân biệt phù hợp). Do đó, nếu giải pháp rời rạc của bạn trên M2 gần với kết quả thử nghiệm hơn so với trên M3 hoặc M4, thì chỉ có hai khả năng: $h\rightarrow 0$

Phương trình vi phân không mô tả một cách thích hợp thế giới thực bởi vì giải pháp của nó không gần với những gì bạn đo được.
Dữ liệu đo của bạn không chính xác.

Về cơ bản, những gì bạn đang thấy là giải pháp chính xác của phương trình vi phân (rõ ràng là gần đúng trên các lưới M3 và M4) không khớp với các phép đo của bạn. Cái nào sai là để bạn tìm hiểu ngay bây giờ.

(Tất cả điều này được viết theo giả định rằng sơ đồ số của bạn thực sự chính xác và do đó, giải pháp số của bạn trên các lưới mịn là một xấp xỉ tốt cho giải pháp chính xác.)

— Wolfgang Bangerth
nguồn

Cảm ơn bạn Wolfgang. Có lẽ có một chút sự thật cho cả hai cách giải thích: (i) Tôi đang sử dụng mô hình đa pha không nhất thiết phải nắm bắt hoàn toàn các tương tác hạt-chất lỏng phức tạp, (ii) trong các thí nghiệm dữ liệu 3D thu được bằng công nghệ 2D. Không phân biệt, từ những gì tôi thu thập được lưới độc lập là tốt nhất.

— AL Verminburger

7

$U$ $u_h$ $h$ $u_h$

‖ U - u_{h} ‖ \leq ‖ U - u_{m} ‖ + ‖ u_{m} - u_{h} ‖,

$\|U-u_h \| \leq \|U-u_m \| + \|u_m - u_h\|,$

u_{m}

$u_m$

Giả sử lỗi mô hình hóa, độc lập với lưới, có kích thước không đổi , trong khi lỗi số thỏa mãn ước tính loại , với . Do đó, lỗi đo được có thể được biểu thị là Giảm kích thước mắt lưới, tức là , sẽ có một điểm, khi lỗi số nằm dưới lỗi mô hình và sự khác biệt so với giải pháp thực tế không thay đổi nữa. $\| U - u_m\|$ $C_m$ $\|u_m - u_h\| < C_h h^p$ $p\in \mathbb N$

‖ U - u_{h} ‖ \approx C_{m} + C_{h} h^{p} .

$\|U-u_h\| \approx C_m + C_hh^p.$

h \to 0

$h\to 0$

Tại thời điểm này, giải pháp của bạn được gọi là lưới độc lập, vì lỗi mô hình chiếm ưu thế so với lỗi số.

Do đó, quan sát của bạn có thể là do hủy bỏ lỗi may mắn. Nhưng tôi sẽ không kêu gọi điều này, vì tôi không thấy một sự biện minh toán học nào cho việc sử dụng sự phân biệt thô hơn, trừ khi người ta phải đối mặt với sự bất ổn.

Tôi thà xem xét việc tu sửa ...

— tháng một
nguồn

Ồ, như @WolfgangBangerth đã đề cập, các phép đo cũng phải chịu các nguồn lỗi.

— Ngày