Phương pháp sai phân hữu hạn Shortley-Weller

bạn có thể cho tôi một liên kết cho một lời giải thích tốt và đơn giản về sơ đồ sai phân hữu hạn Shortley-Weller không? Tôi đã cố gắng google nó nhưng tất cả những gì tôi nhận được là (không thể truy cập) các ấn phẩm học thuật. Tôi cũng đã thử đọc chương dành riêng (4.8) trong cuốn sách "Phương trình vi phân Elliptic" của Wolfgang Hackbusch nhưng tôi thấy nó khá khó. Cảm ơn bạn

Đối với Christian Clason: cảm ơn bạn đã trả lời, nhưng có một điều tôi vẫn không hiểu: tôi phải làm gì để áp dụng phương pháp này là vào các ranh giới tùy ý, ví dụ như vận chuyển hàng không bất đối xứng trong một luồng?

finite-difference

— Michael
nguồn

Tôi đã chỉnh sửa câu trả lời để bao gồm các bước cơ bản để thực hiện chương trình này; nếu có điều gì đó đặc biệt mà bạn gặp khó khăn, hãy bình luận về câu trả lời.

— Christian Clason

Nhân tiện, có vẻ như bạn đã có hai tài khoản riêng biệt, điều đó có nghĩa là bạn không thể chỉnh sửa bài đăng gốc của mình hoặc để lại nhận xét. Nhân viên StackExchange có thể hợp nhất chúng lại với bạn .

— Christian Clason

Theo như tôi có thể nói, sơ đồ này chỉ bao gồm việc thay thế stprint khác biệt hữu hạn thống nhất gần ranh giới bằng một stprint không đồng nhất (với ít nhất một điểm được chuyển sang nằm trên ranh giới). Về cơ bản, bạn lấy miền có hình dạng tùy ý, đặt nó vào một hộp, phân tách hộp với lưới đồng nhất, vứt bỏ tất cả các điểm lưới không có ít nhất một hàng xóm bên trong miền và chuyển các điểm lưới còn lại bên ngoài miền theo chiều ngang hoặc chiều dọc (cái nào ngắn nhất) để chúng nằm trên đường biên. (Việc thực hiện thực tế là tẻ nhạt hơn nhiều, tất nhiên.)

Để có được stprint không đồng nhất tại một trong các nút bên cạnh nút biên, người ta tiến hành tương tự với (một trong) các đạo hàm của stprint thống nhất: Nội suy hàm (chưa biết) bằng một đa thức bậc hai trong các nút và lấy thứ hai phát sinh. Nó đủ để xem xét trường hợp một chiều với các nút . Sau đó $x_1=x-h_1,x_2=x,x_3=x-h_2$

D_{h}^{2} u (x) \approx u (x - h_{1}) ℓ_{1}^{″} (x) + u (x) ℓ_{2}^{″} (x) + u (x + h_{2}) ℓ_{3}^{″} (x),

$D^2_h u(x) \approx u(x-h_1)\ell''_1(x) + u(x) \ell_2''(x) + u(x+h_2)\ell''_3(x),$

trong đó là các đa thức Lagrange tương ứng với các nút. Tính toán sản lượng các công cụ phái sinh $\ell_j=\Pi_{i\neq j}(x-x_i)/(x_j-x_i)$

D_{h}^{2} u (x) = \frac{2}{h_{1} (h_{1} + h_{2})} u (x - h_{1}) - \frac{2}{h_{1} h_{2}} u (x) + \frac{2}{h_{2} (h_{1} + h_{2})} u (x + h_{2})

$D^2_h u(x) = \frac{2}{h_1(h_1+h_2)} u(x-h_1) - \frac{2}{h_1h_2} u(x) + \frac{2}{h_2(h_1+h_2)} u(x+h_2)$

như đã tuyên bố. (Bạn cũng có thể sử dụng các hình thức Newton của nội suy đa thức, mà đơn giản hoá việc tính toán các dẫn xuất, đặc biệt là cho các đơn hàng cao hơn.) Làm tương tự trong và tổng hợp các stencils cho phương trình (4.8.7). $y$

Bạn có thể tìm thấy các ví dụ chi tiết hơn trong Phương pháp khác biệt hữu hạn của Randy LeVeque cho phương trình vi phân thông thường và một phần (ví dụ, trang 9) hoặc trên bài đăng trên blog này (cũng chứa mã NumPy để tính toán các hệ số được đưa ra tùy ý và ). Điều này cũng được xử lý chi tiết trong Morton và Mayers, Giải pháp số của phương trình vi phân từng phần , phần 3.4. $h_1$ $h_2$

Làm thế nào bạn đối xử với các nút ranh giới phụ thuộc vào điều kiện biên của bạn. Đối với điều kiện Dirichlet, bạn tiến hành như một lưới đồng nhất. Đối với các điều kiện Neumann, bạn sử dụng cách tiếp cận trên (nội suy không đồng nhất - bây giờ đồng thời theo và - và phân biệt) để tính gần đúng đạo hàm bình thường tại nút biên để có được một stprint cục bộ; xem Morton và Mayers, trang 75ff. $x$ $y$

— Christian Clason
nguồn

Nếu chúng ta thay thế chỉ bằng thì . Nhưng có nguồn gốc từ sự khác biệt hữu hạn, tức là loạt Taylor. Bạn có thể vui lòng làm rõ cách nội suy Lagrange có thể trùng với các khác biệt của loạt Taylor / hữu hạn không?

h_{1}, h_{2}

$h_1, h_2$

h

$h$

D_{h} = Δ_{h}

$D_h = \Delta_h$

Δ_{h}

$\Delta_h$

— trình tự

@ Hậu quả, người ta có thể lấy các xấp xỉ sai phân hữu hạn như các đạo hàm của đa thức nội suy được xây dựng bằng cách sử dụng các nút của khuôn tô. Vì vậy, bạn lấy các điểm của khuôn tô mà bạn muốn sử dụng, xây dựng đa thức Lagrange và phân biệt nó để rút ra công thức tính gần đúng đạo hàm bạn muốn.

— VorKir

@VorKir Tuy nhiên, điều đáng chú ý là các xấp xỉ này sẽ trùng với các xấp xỉ chuỗi Taylor.

— trình tự

@ Hậu quả Không thực sự, vì một xấp xỉ Taylor là một xấp xỉ đa thức tuyến tính (bậc hai, v.v.) cho một hàm tại một điểm, và đa thức nội suy cũng vậy. Theo định lý cơ bản của đại số, chúng phải giống nhau. (Nếu bạn vẫn còn hoài nghi, hãy nhớ rằng các điểm cho khuôn tô không được chọn ngẫu nhiên.)

— Christian Clason

@ChristianClason Cảm ơn bạn đã làm rõ. Thật vậy, tôi đã không chú ý đáng kể đến thực tế là cả hai xấp xỉ đều là đa thức, phải là duy nhất, và do đó về khả năng áp dụng định lý cơ bản của đại số.

— trình tự