Giới hạn lỗi tương đối của đạo hàm cho lỗi tương đối của hàm

Giả sử một hàm $f$ có thể được tính toán sao cho giới hạn của lỗi tương đối là $R$ tức là $f^-(x) = f(x)(1+r)$ trong đó $f^-$ và $f$ tương ứng là giá trị được tính và chính xác $f$ và $|r| \leq R$

Tôi muốn ràng buộc lỗi tương đối của các xấp xỉ đạo hàm sau theo $h$ và $R$ cho một f chung$f$

$$\begin{align*} f^{'}(x) &\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\\ f^{''}(x)&\approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} \end{align*}$$

Trong Ralston và Rabinowitz, các giới hạn được đưa ra lần lượt là $\frac{R}{h}$ và $\frac{4R}{h^2}$ . Nhưng điều này đã không được chứng minh và đã được đề cập khi thông qua như là một phần của một lời giải thích về Phép ngoại suy của Richardson.

Bất kỳ ý tưởng về bằng chứng của nó?

Định lý này đã bị tác giả câu hỏi giải thích sai hoặc có một lỗi trong cuốn sách được tham khảo. Xem xét ví dụ truy cập sau:

h = 0,01 R =

$$f(x) = 100+x$$ $$h=0.01$$ $$R = 0.01$$

Tại , sai số tuyệt đối trong mỗi đánh giá chức năng là , vì vậy chúng tôi có Trong trường hợp xấu nhất, hai thuật ngữ lỗi có cùng dấu và không hủy bỏ. Do đó, sai số tương đối của xấp xỉ đạo hàm có thể lên tới , lớn hơn nhiều so với .100 ∗ 0,01 = 1 f ′ - ( 0 ) = f - ( h ) - f - ( - h $x=0$$100*0.01=1$

$$f'^-(0) = \frac{f^-(h) - f^- (-h)}{2h} = \frac{(100+0.01)\pm 1 - ((100-0.01) \pm 1)}{0.02}$$ 100R/h= $$\implies f'^-(0) = \frac{0.02}{0.02} \pm \frac{1}{0.02}\pm \frac{1}{0.02}$$ $100$$R/h = 1$

Theo như tôi có thể nói là không có ràng buộc về lỗi tương đối cho một chung vì bằng cách chọn một hàm có dạng , lỗi tương đối trong xấp xỉ đạo hàm luôn có thể tăng lên chỉ bằng cách tăng .f ( x ) = n + x $f$$f(x) = n+x$$n$

Mặt khác, chúng ta có thể tính một ràng buộc phụ thuộc vào . Ràng buộc về sai số tuyệt đối cho và đủ nhỏ là: Chứng minh: trong đó Taylor mở rộng quanh và bỏ qua các điều khoản của đơn hàng hoặc hoặc cao hơn vì cả và đều nhỏ. Tương tự Do đó h R f ′ - ( x ) = f ( x + h ) - f ( x - h $f$$h$$R$ f-(x+h)=(f(x)+hf′(x))(1±R

$$f'^-(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \pm \frac{f(x)R}{h}$$ $$f^-(x+h) = (f(x)+hf'(x))(1 \pm R)$$ $$\implies f^-(x+h) =f(x)+hf'(x)\pm Rf(x)$$ $f$$x$$hR$$h^2$$h$$R$ $$f^-(x-h) = f(x) - hf'(x) \pm Rf(x)$$ $$f'^-(x) = \frac{2hf'(x) \pm Rf(x) \pm Rf(x)}{2h}$$ $$\implies f'^-(x) =f'(x) \pm \frac{Rf(x)}{h}$$ trong đó chúng ta một lần nữa xem xét trường hợp xấu nhất, trong đó các lỗi cộng lại.

Do đó, ràng buộc về lỗi tương đối phụ thuộc vào và có thể được biểu thị là $f(x)$

$$f'^-(x) = f'(x)\left(1\pm\frac{Rf(x)}{hf'(x)}\right)$$

Tương tự, chúng ta có

$$f''^-(x) = f''(x)\left(1 \pm \frac{4Rf(x)}{h^2f''(x)}\right)$$

Để trả lời câu hỏi trực tiếp của bạn (và không phục vụ cho lỗi cắt ngắn nhận xét của Brian Borchers):

Theo định nghĩa bạn có cho , lỗi tương đối của nó và định nghĩa của bạn không nói rõ ràng, nhưng không đổi, vì vậy lỗi tương đối tronglà .| ( f - - f ) / f | ≤ R r | f - ( x + h ) - f - ( x - h ) | ≤ 2 $f^-$$|(f^--f)/f|\leq R$$r$$|f^-(x+h)-f^-(x-h)|$$\leq 2R$

Điều này dẫn trực tiếp đến các lỗi tương đối cho là và tương tự cho là . R/h$f^{'-}$$R/h$ 4R/h$f^{''-}$$4R/h^2$