Làm thế nào để bắt đầu phương pháp Simplex từ một điểm nội bộ khả thi?

Tôi có một thuật toán tạo ra một giải pháp khả thi cho một vấn đề lập trình tuyến tính. Tuy nhiên, rất có thể đây không phải là một điểm góc. Điều này làm cho nó không phù hợp để sử dụng trực tiếp như một giải pháp khả thi ban đầu cho bộ giải Simplex bị ràng buộc. Làm thế nào tôi có thể tìm thấy một điểm góc từ giải pháp này mà tôi có thể sử dụng một cách hiệu quả?

Nói tóm lại, làm thế nào tôi có thể bắt đầu phương pháp Simplex từ một điểm nội bộ khả thi?

Mỗi cuốn sách về tối ưu hóa tuyến tính giải thích phương pháp đơn giản như một thuật toán hai giai đoạn: đầu tiên để tìm một góc khả thi làm điểm bắt đầu và thứ hai để tìm ra phương án tối ưu. Việc đầu tiên sử dụng một vấn đề kép. Hãy xem D. Bertsimas và JN Tsitsiklis: "Giới thiệu về tối ưu hóa tuyến tính" chẳng hạn.

Lý do người ta cần cách tiếp cận hai pha là vì thường khó tìm thấy bất kỳ điểm khả thi nào - trong không gian chiều cao, bộ khả thi rất nhỏ so với hộp đơn vị. Từ câu hỏi của bạn, có vẻ như bạn có một cách khác để tìm ít nhất một điểm khả thi và trong trường hợp đó có thể tạo ra một đỉnh của khối đa diện khả thi từ điểm này. Một ý tưởng sẽ là sử dụng cách tiếp cận sau: mỗi ràng buộc bất đẳng thức đại diện cho một nửa không gian được phân tách bằng một siêu phẳng. Cho điểm khả thi , tìm siêu phẳng gần nhất với n + 1 x $x^\ast$$n+1$$x^\ast$và đi qua ngã tư của họ. Theo trực giác, đỉnh này nên khả thi, mặc dù tôi sẽ thừa nhận rằng người ta sẽ cần phải suy nghĩ về điều này nhiều hơn một chút.

Thật không may, giải pháp của Wolfgang Bangerth không được đảm bảo để hoạt động:

Đây là những gì bạn có thể làm thay vào đó: Chọn một hướng và di chuyển dọc theo nó cho đến khi bạn chạm vào một siêu phẳng. Chọn một hướng dọc theo siêu phẳng và di chuyển dọc theo nó cho đến khi bạn chạm vào một hướng khác. Chọn một hướng dọc theo giao điểm của hai siêu phẳng ... Sau khi bước, bạn sẽ có các ràng buộc hoạt động và bạn sẽ chọn một hướng dọc theo không gian hai chiều . Sau bước, bạn sẽ đến một đỉnh (giả sử tập hợp khả thi bị giới hạn).i ( n - i ) $i$$i$$(n-i)$$n$

Thực tế có nhiều cách tiếp cận khác nhau cho giai đoạn I trong phương pháp đơn giản. Đặc biệt, có các thuật toán pha I sử dụng các phép lặp đơn giản prx đơn giản và các thuật toán pha I khác sử dụng các phép lặp đơn giản kép. Đây là một cách tiếp cận rất chung có thể dễ dàng được điều chỉnh để sử dụng một giải pháp khả thi đã biết. Phiên bản này sử dụng phương pháp đơn giản kép trong giai đoạn I và phương pháp đơn giản nguyên thủy trong giai đoạn II, nhưng có một biến thể sử dụng các lần lặp đơn giản nguyên thủy trong giai đoạn I và lặp lại đơn giản kép trong giai đoạn II mà tôi sẽ đề cập ở cuối. Cách tiếp cận mà tôi sẽ mô tả ở đây được thảo luận trong nhiều sách giáo khoa về lập trình tuyến tính. Ví dụ, xem văn bản của Robert Vanderbei's .

Giả sử rằng chúng ta đang giải quyết

$\max cx$

tùy thuộc vào

$Ax=b$

$l \leq x \leq u$

Trong đó có kích thước bằng . Để đơn giản, giả sử rằng các hàng của là độc lập tuyến tính (điều này có thể được thực hiện bằng hệ số tiết lộ thứ hạng.)m n $A$$m$$n$$A$

1. Chọn một cơ sở ban đầu. Đây là một bộ sưu tập của biến để các cột tương ứng của tạo thành một không ít ma trận . Các biến không quan trọng còn lại có thể được đặt thành giới hạn trên hoặc dưới của chúng (hoặc bằng 0 nếu một biến không có giới hạn nào cả.) A $m$$A$$B$

Một cách dễ dàng để thực hiện điều này từ giải pháp ban đầu của bạn là chọn các biến cơ bản là các biến số xa nhất trong giới hạn của chúng trong giải pháp khả thi đã biết và sau đó xác minh rằng là số ít. Bạn có thể phải sửa đổi cơ sở để làm cho không đơn. Vấn đề ở đây là có nhiều cơ sở có thể, nhưng cái này có các biến cơ bản là các biến có vẻ đúng từ giải pháp khả thi của bạn. $B$$B$

Giải các phương trình để thu được các giá trị của các biến cơ bản. $Ax=b$

2. Giải pháp cơ bản mà bạn có được có khả năng là không thể thực hiện được theo nghĩa là một số biến số nguyên thủy nằm ngoài giới hạn của chúng. Nó cũng có khả năng là không khả thi theo nghĩa là một số chi phí giảm của các biến không cơ bản có dấu hiệu sai (ví dụ: các biến không bazơ ở giới hạn thấp hơn với chi phí giảm tích cực hoặc biến không bazơ ở giới hạn trên với chi phí giảm âm).

Chúng tôi sẽ khắc phục vấn đề này bằng cách thay đổi hàm mục tiêu thành một tính khả thi kép. Đối với mỗi biến không dao động ở giới hạn dưới của nó, trừ đi một đại lượng từ hệ số hàm mục tiêu. Đối với mỗi biến không quan trọng ở giới hạn trên của nó, thêm một đại lượng dương vào hệ số. Điều này đảm bảo rằng từ điển là khả thi kép. $M$$M$

Điểm quan trọng của việc sửa đổi chức năng mục tiêu này là cố gắng làm việc theo hướng khả thi nguyên thủy nhưng cũng hướng tới sự tối ưu đối với chức năng mục tiêu ban đầu. Bạn muốn đủ lớn để bạn có tính khả thi kép, nhưng bạn muốn giữ ảnh hưởng nhiều nhất có thể từ hàm mục tiêu ban đầu. $M$

3. Thực hiện các phương pháp đơn giản kép để có được một giải pháp cơ bản, cả khả thi nguyên thủy (tất cả các biến cơ bản trong boudns) và khả thi kép (tất cả các chi phí giảm đều có dấu hiệu mong muốn.) Giải pháp này là tối ưu cho vấn đề giai đoạn I.

4. Thay thế hàm mục tiêu pha I đã sửa đổi bằng hàm mục tiêu ban đầu. Bây giờ bạn sẽ có một giải pháp cơ bản khả thi nguyên thủy (thay đổi chức năng mục tiêu không ảnh hưởng đến điều này) nhưng không khả thi kép. Thực hiện các bước lặp đơn giản nguyên thủy để lấy lại sự tối ưu.

Một cách thay thế rõ ràng cho cách tiếp cận này là sửa đổi phía bên phải b khi bắt đầu giai đoạn I, sử dụng các bước lặp đơn giản nguyên thủy trong giai đoạn I để đạt được sự tối ưu, sau đó đưa phía bên phải ban đầu trở lại cho giai đoạn II và sử dụng các bước lặp đơn giản kép trong giai đoạn II.

Tôi đã tìm kiếm giải pháp cho câu hỏi tương tự: đối với một chương trình tuyến tính thưa thớt rất lớn, chỉ có phương pháp đơn giản được thử nghiệm, nhưng chỉ khi giải pháp 0 mặc định là khả thi. Có vẻ như thuật toán giai đoạn một (như trong linprog của Matlab) là xấu. Và mã nguồn giai đoạn một rất phức tạp để thay thế nó bằng thuật toán khác như thuật toán di truyền, do đó, một phương pháp xoay quanh là biến đổi tuyến tính của vấn đề ban đầu, để trong các phương sai mới, giải pháp khả thi ban đầu được cung cấp là 0, và điều này 0 sẽ được sử dụng bởi giai đoạn một mà không sử dụng phương thức riêng để tìm điểm bắt đầu khác.

Trong thử nghiệm phương pháp này, từng bước thông qua linprog.m, simplex.m, simplexpresolve.m và simplexphaseone.m, trong trường hợp chỉ sử dụng các ràng buộc bất đẳng thức, người ta xác nhận rằng 0 mặc định sẽ được sử dụng cho các biến ban đầu, trong đó các biến chùng sẽ có sự khác biệt. Vì vậy, việc chuyển đổi tuyến tính có thể lẻn x0 thành đơn giản, điều này cố tình ngăn người dùng cung cấp x0. Sau đó, bạn có thể thấy thông báo "Điểm bắt đầu mặc định là khả thi, bỏ qua Giai đoạn 1." Mặt khác, thông thường GA có thể tìm giải pháp gần với chương trình tuyến tính đến 0,01 phần trăm bằng cách sử dụng gấp đôi hoặc gấp ba lần, do đó, nó có thể không xứng đáng với những nỗ lực chuyển đổi tuyến tính của các ràng buộc, mục tiêu và giới hạn đó, đặc biệt là khi các ràng buộc được tạo ra một cách giả tạo .