Sự khác biệt giữa FEM ngầm và FEM rõ ràng là gì?

10

Sự khác biệt giữa FEM rõ ràng và FEM ẩn chính xác là gì? Theo bài đăng ở đây , dường như sự khác biệt duy nhất là liệu tích hợp thời gian ngầm hay rõ ràng được sử dụng.

Như tôi nhớ từ một cuốn sách mà tôi đọc, FEM ẩn là nơi khối lượng không được gộp vào các nút.

Các định nghĩa chính xác của FEM rõ ràng và ẩn là gì?

finite-element implicit-methods explicit-methods

— Phi Phi
nguồn

7

Phương pháp FEM cho các vấn đề nhất thời thường sử dụng phương pháp đường, nghĩa là sự rời rạc không gian được tách rời khỏi thời gian rời rạc: trong đó là vectơ của đại lượng nốt, được coi là các hàm chưa biết của thời gian. Theo giả thiết này không gian-thời gian PDE trong được giảm (rời rạc) để ODE trong mình bằng cách sử dụng máy móc thiết bị FEM thông thường cho các vấn đề tĩnh.

{bạn}^{h} (x, t) = = Φ (x)^{T} Bạn (t)

$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$

U (t)

$\mathbf{U}(t)$

(x, t)

$(x,t)$

t

$t$

Như đã được chỉ ra bởi các câu trả lời khác, chúng tôi nói về FEM rõ ràng hoặc ẩn với tham chiếu đến sơ đồ tích hợp thời gian của các ODE này.

Với tham chiếu đến các vấn đề cơ học liên tục (không giảm xóc), chúng tôi kết thúc với một hệ thống ODE như trong đó và là nội bộ và các lực tương đương bên ngoài nút. Đối với các bài toán tuyến tính

M \ddot{Bạn} (t) + F_{Tôi} (Bạn (t)) = = F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i}

$\mathbf{F}_\text{i}$

F_{e}

$\mathbf{F}_\text{e}$

.

F_{i} (t) = K U (t)

$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

Lúc nguy cơ quá simplifing chúng ta hãy giả định rằng trong một kế hoạch rõ ràng, bạn chỉ cần giải quyết cho là tầm thường nếu ma trận khối được gộp lại. Ngược lại trong các phương pháp ngầm định, bạn cần giải các phương trình tuyến tính (không) . $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

M \ddot{Bạn} (t) = = - F_{Tôi} (Bạn (t)) + F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i} (U (t)) = b

$\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

Để trả lời đầy đủ câu hỏi của bạn: tường minh / ẩn đề cập đến giải pháp của hệ thống ODE chứ không phải bản chất của ma trận khối. Tất nhiên mọi thực hiện hợp lý của một sơ đồ rõ ràng đòi hỏi phải gộp ma trận khối, nếu không thì các ưu điểm của phương thức sẽ bị mất trong giải pháp cho . Trái lại với các sơ đồ ngầm, bạn có thể có cả ma trận khối gộp và nhất quán. $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

— Stefano M
nguồn

7

Vâng, đó là sự tích hợp thời gian nhưng nó cũng có nghĩa là:

Bạn phải giải một hệ thống tuyến tính loại Ax = b trong sơ đồ ẩn trong đó như trong sơ đồ rõ ràng bạn không làm, vì ma trận khối gộp chỉ có các mục chéo nên inv (M) là tầm thường.
Bước thời gian của bạn trong sơ đồ rõ ràng bị giới hạn bởi các tiêu chí CFL về tính ổn định. Đề án ngầm là ổn định vô điều kiện (mặc dù trong thực tế, bạn vẫn cần một bước thời gian hợp lý cho chính xác)

Thông thường các vấn đề trong đó các hiệu ứng quán tính rất quan trọng (ví dụ, sự truyền sóng) được giải quyết bằng các sơ đồ rõ ràng trong đó các vấn đề gần như tĩnh thường sử dụng một sơ đồ ngầm. Tuy nhiên vẫn có ngoại lệ.

— stali
nguồn

Trong các sơ đồ ngầm, không chỉ các hệ phương trình tuyến tính phát sinh, mà (ví dụ trong mô hình hóa chất lỏng) các hệ phương trình phi tuyến tính xảy ra.

— Khốn khổ

5

Các thuật ngữ "rõ ràng" và "ngầm" phát sinh trong thời gian rời rạc và các thuật ngữ này đã được sử dụng trong tài liệu về các phương trình vi phân thông thường (nghĩa là chúng không đặc trưng cho phương pháp phần tử hữu hạn). Sẽ đáng để xem một cuốn sách thảo luận về giải pháp số của ODE, ví dụ Hairer & Wanner.

— Wolfgang Bangerth
nguồn