Làm thế nào là các vấn đề tam giác Voronoi T shipation và Delaunay đối ngẫu nhau?

Tôi đã luôn luôn nói rằng sơ đồ Voronoi là kép của bài toán tam giác Delaunay. Theo nghĩa nào thì chúng có thể là đối ngẫu của nhau? Tôi nghĩ rằng các vấn đề kép (tức là trong lập trình tuyến tính) được cho là tạo ra cùng một câu trả lời. Rõ ràng, hai vấn đề không có cùng một giải pháp. Làm thế nào chúng ta có thể coi chúng là đối ngẫu?

Câu trả lời đơn giản là chúng là kép bởi vì trong mỗi tam giác delaunay tồn tại một và chỉ một tessname voronoi tương ứng và ngược lại. Điều đó đúng với hầu hết các trường hợp, nhưng có những trường hợp là sự tương ứng không phải là một. Ví dụ trong trường hợp khi voronoi tessname là một lưới vuông thông thường.

Cả hai phép tính voronoi và tam giác delaunay đều không tầm thường để tính cho một tập hợp các điểm nhất định. Nhưng một khi bạn đã tìm thấy một cái khác thì dễ tìm.

Trong tam giác delaunay của một tập hợp các điểm, , tất cả các tam giác đều là "delaunay", có nghĩa là không có điểm nào trong đường tròn ngoại tiếp tương ứng với bất kỳ tam giác nào.$P$

Các tessellation Voronoi cho một tập hợp các điểm, , bao gồm các bộ Voronoi tế bào , như vậy mà cho tất cả các điểm trong là gần gũi hơn với sau đó đến bất kỳ điểm nào khác trong .$P$$R$$R_i$$P_i$$P$

Cho phép tam giác delaunay chỉ đơn giản là kết nối các tâm vòng tròn tam giác lân cận.

Cho tập hợp các điểm và phần tử voronoi chỉ đơn giản là kết nối các điểm lân cận. Tất nhiên, điều này được đưa ra là bạn biết tập hợp điểm được sử dụng khi xây dựng phần tử voronoi.$P$$P$

Chỉ để minh họa những gì người khác đang nói: màu xanh bên dưới là biểu đồ Voronoi, màu đỏ là hình tam giác Delaunay kép. Chúng là kép đối với nhau như đồ thị mặt phẳng hình học. Từ sơ đồ Voronoi, việc lấy ra tam giác Delaunay là chuyện nhỏ. Hướng ngược lại không quá rõ ràng, nhưng vẫn đúng là từ phép tính tam giác Delaunay và một số tính toán bạn có thể tính toán sơ đồ Voronoi.
          
Tôi đã tính toán các sơ đồ này cho 50 điểm ngẫu nhiên trong Mathicala bằng cách sử dụng gói ComputationalGeometry . Xem liên kết này cho mã của tôi.

${\bf P}$${\bf G}$$G_i$$P_i$$P_j \in {\bf P}, j \neq i$${\bf P}$

Theo một nghĩa nào đó, điều này tương tự như tính đối ngẫu tồn tại giữa các mạng tam giác và lục giác trong vật lý thống kê. Các trung điểm của các ô trong một mạng tam giác đều, khi được kết nối tạo thành một mạng lục giác và ngược lại .

Tuy nhiên, cần phải chỉ ra rằng không phải tất cả các phần tử Voronoi đều là đối ngẫu của tam giác Delaunay; mối quan hệ này có lẽ chỉ hợp lệ đối với các điều khoản Voronoi không trọng số . Đối với các phương pháp điều chỉnh trọng số, trong đó một cái gì đó không phải là khoảng cách Euclide được sử dụng để xác định các cạnh, sự tương quan bị phá vỡ.

Để giải thích về nhận xét của Geoff: Delaunay triangulation và biểu đồ Voronoi là "đối tượng" chứ không phải là "vấn đề". Do đó, nói về "giải pháp" là một chút.

Tính hai mặt nằm giữa các phần tử và hình tam giác: Để di chuyển từ hình tam giác sang hình tàu, bạn tạo thành tập Voronoi của các đỉnh của hình tam giác. Để di chuyển từ tàu Voronoi sang tam giác Delaunay, bạn kết nối "điểm giữa" của hai ô nếu chúng chạm vào nhau.

Đồ thị Voronoi và Delaunay được gọi là kép cho các thuộc tính đồ thị của chúng. Xem đồ thị kép trên Wikipedia.