Trạng thái của nghệ thuật trong các phương pháp ODE song song là gì?

Tôi hiện đang xem xét các phương pháp song song để tích hợp ODE. Có rất nhiều tài liệu mới và cũ ngoài kia mô tả một loạt các phương pháp tiếp cận, nhưng tôi không tìm thấy bất kỳ khảo sát gần đây hoặc các bài viết tổng quan mô tả chủ đề nói chung.

Có cuốn sách của Burrage [1], nhưng nó đã gần 20 năm và do đó không bao gồm nhiều ý tưởng hiện đại hơn như thuật toán parareal.

[1] K. Burrage, Phương pháp song song và tuần tự cho phương trình vi phân thông thường, Clarendon Press, Oxford, 1995

Tôi không biết về bất kỳ bài viết tổng quan nào gần đây, nhưng tôi tích cực tham gia vào việc phát triển thuật toán PFASST để có thể chia sẻ một số suy nghĩ.

Có ba loại kỹ thuật song song thời gian mà tôi biết:

• trên phương pháp - các giai đoạn độc lập của RK hoặc tích hợp ngoại suy có thể được đánh giá song song; xem thêm RIDC (thuật toán hiệu chỉnh hoãn lại tích phân)
• xuyên qua vấn đề - thư giãn dạng sóng
• trên miền thời gian - Parareal; PITA (song song trong thuật toán thời gian); và PFASST (sơ đồ xấp xỉ đầy đủ song song trong không gian và thời gian).

Các phương thức song song trên phương thức thường thực hiện rất gần với thông số kỹ thuật nhưng không vượt quá phạm vi của một số bộ xử lý (thời gian). Thông thường, chúng tương đối dễ thực hiện hơn các phương pháp khác và rất tốt nếu bạn có thêm một số lõi nằm xung quanh và đang tìm kiếm các tốc độ tăng tốc có thể dự đoán và khiêm tốn.

Các phương pháp song song trên toàn miền thời gian bao gồm Parareal, PITA, PFASST. Các phương pháp này đều lặp đi lặp lại và bao gồm các bộ truyền "thô" rẻ tiền (nhưng không chính xác) và các bộ truyền "đắt tiền" (nhưng chính xác). Họ đạt được hiệu quả song song bằng cách đánh giá lặp lại bộ truyền mịn song song để cải thiện một giải pháp nối tiếp thu được bằng cách sử dụng bộ truyền thô.

Các thuật toán Parareal và PITA chịu một giới hạn khá đáng tiếc về hiệu quả song song của chúng : trong đó là số lần lặp cần thiết để đạt được sự hội tụ trong toàn miền. Ví dụ: nếu việc triển khai Parareal của bạn yêu cầu 10 lần lặp để hội tụ và bạn đang sử dụng bộ xử lý 100 (thời gian), tốc độ tăng tốc lớn nhất bạn có thể hy vọng sẽ là 10 lần. Thuật toán PFASST làm giảm giới hạn trên bằng cách kết hợp các phép lặp song song thời gian với các lần lặp của phương pháp bước thời gian hiệu chỉnh quang phổ và kết hợp các hiệu chỉnh lược đồ xấp xỉ đầy đủ cho một hệ thống phân biệt không gian / thời gian.$E$$E < 1/K$$K$

Có thể chơi rất nhiều trò chơi với tất cả các phương pháp này để thử và tăng tốc chúng, và dường như hiệu suất của các kỹ thuật trên toàn miền này phụ thuộc vào vấn đề bạn đang giải quyết và kỹ thuật nào có sẵn để tăng tốc độ thô tuyên truyền (lưới thô, toán tử thô, vật lý thô, vv).

Một số tài liệu tham khảo (xem thêm tài liệu tham khảo được liệt kê trong các bài báo):

• Bài viết này cho thấy các phương pháp khác nhau có thể được song song trong phương pháp như thế nào: Một so sánh lý thuyết về Runge-Kutta rõ ràng bậc cao, ngoại suy và phương pháp hiệu chỉnh hoãn lại ; Ketcheson và Waheed.

• Bài viết này cũng cho thấy một cách song song tốt đẹp trong phương thức và giới thiệu thuật toán RIDC: Các nhà tích hợp bậc cao song song ; Christlieb, MacDonald, Ong.

• Bài viết này giới thiệu thuật toán PITA: Phương pháp tiềm ẩn song song thời gian để tăng tốc giải pháp cho các vấn đề động lực học cấu trúc phi tuyến ; Cortial và Farhat.

• Có rất nhiều bài viết về Parareal (chỉ Google nó).

• Dưới đây là một bài viết về phương pháp Nievergelt: Cách tiếp cận giao tiếp tối thiểu để tích hợp thời gian song song ; Vỏ cây.

• Bài viết này giới thiệu PFASST: Hướng tới phương pháp song song hiệu quả trong phương trình vi phân từng phần ; Emmett và Minion;

• Bài viết này mô tả một ứng dụng gọn gàng của PFASST: Một bộ giải N-body song song không gian thời gian ; Speck, Ruprecht, Krause, Emmett, Minion, Windel, Gibbon.

Tôi đã viết hai triển khai PFASST có sẵn trên mạng: PyPFASST và libpfasst .

Mặc dù bài đăng này đã được hai năm tuổi, nhưng trong trường hợp ai đó tình cờ thấy nó, hãy để tôi cập nhật ngắn gọn:

Martin Gander gần đây đã viết một bài viết đánh giá hay, đưa ra một viễn cảnh lịch sử về lĩnh vực này và thảo luận về nhiều phương pháp PINT khác nhau: http://www.unige.ch/~gander/Preprints/50YearsTimeParallel.pdf

Hiện tại cũng có một trang web cộng đồng liệt kê rất nhiều tài liệu tham khảo và đưa ra các mô tả về các phương pháp khác nhau: http://www.abul-in-time.org/

Một cuộc thảo luận về thuật toán song song Parareal nói riêng có thể được tìm thấy ở đây: https://en.wikipedia.org/wiki/Parareal

Dưới đây là một giới thiệu ngắn về thư giãn dạng sóng . Khi nói về phương pháp song song thời gian như parareal hoặc PITA hoặc các phương pháp khác, người ta nên phân biệt giữa các hệ thống ODE tiêu tan và bảo thủ (Hamilton). Cái sau có vẻ khó song song hơn về chiều thời gian bằng cách phân vùng theo các khoảng thời gian phụ. Dưới đây là một phân tích về parareal cho các hệ thống Hamilton . Hệ thống tiêu tan dễ dàng hơn vì lỗi gây ra tại thời điểm ban đầu có xu hướng biến mất do sự tiêu tán u ( t ) = exp ( - λ t ) u 0 , R $u_0$$u(t)=\exp(-\lambda t)u_0,$ $\mathrm{Re}\,\lambda>0.$