Mục đích của việc sử dụng tích hợp bởi các bộ phận trong việc tạo ra một hình thức yếu cho sự phân biệt FEM là gì?

24

Khi chuyển từ dạng mạnh của PDE sang dạng FEM, có vẻ như người ta phải luôn luôn làm điều này bằng cách trước tiên nêu rõ dạng biến thể. Để làm điều này, bạn nhân dạng mạnh với một yếu tố trong không gian (Sobolev) và tích hợp trên khu vực của bạn. Điều này tôi có thể chấp nhận. Điều tôi không hiểu là tại sao người ta cũng phải sử dụng công thức của Green (một hoặc nhiều lần).

Tôi hầu như đã làm việc với phương trình Poisson, vì vậy nếu chúng ta lấy điều đó (với các điều kiện biên Dirichlet đồng nhất) làm ví dụ, nghĩa là

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

sau đó người ta tuyên bố rằng cách chính xác để hình thành dạng biến thể là

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

Nhưng điều gì ngăn tôi sử dụng biểu thức trên dòng đầu tiên, đó cũng không phải là một hình thức đa dạng có thể được sử dụng để có được biểu mẫu FEM? Nó không tương ứng với các dạng song tuyến tính và tuyến tính và ? Có phải vấn đề ở đây là nếu tôi sử dụng các hàm cơ sở tuyến tính (hàm hình dạng) thì tôi sẽ gặp rắc rối vì ma trận độ cứng của tôi sẽ là ma trận null (không thể đảo ngược)? Nhưng nếu tôi sử dụng các hàm hình dạng phi tuyến tính thì sao? Tôi vẫn phải sử dụng công thức của Green chứ? Nếu tôi không phải: nó có nên không? Nếu tôi không, thì tôi có một công thức đa dạng nhưng không yếu? $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ $l(v)=(f, v)$

Bây giờ, giả sử rằng tôi có PDE với các công cụ phái sinh bậc cao hơn, điều đó có nghĩa là có nhiều dạng biến thể có thể xảy ra, tùy thuộc vào cách tôi sử dụng công thức của Green? Và tất cả đều dẫn đến (gần đúng) FEM xấp xỉ?

pde finite-element elliptic-pde

— Cơ đốc giáo
nguồn

Liên quan: scicomp.stackexchange.com/questions/667/ từ

— Paul

18

Câu trả lời ngắn:

Không, bạn không phải thực hiện tích hợp cho một số FEM nhất định. Nhưng trong trường hợp của bạn, bạn phải làm điều đó.

Câu trả lời dài:

Giả sử là giải pháp phần tử hữu hạn. Nếu bạn chọn đa thức tuyến tính piecewise làm cơ sở, thì việc sử dụng trên đó sẽ cung cấp cho bạn phân phối đơn hàng 1 (nghĩ rằng lấy đạo hàm trên hàm bước Heaviside) và tích hợp nhân với sẽ chỉ có ý nghĩa khi bạn coi nó như một cặp đối ngẫu chứ không phải là sản phẩm -inner. Bạn sẽ không nhận được ma trận null, định lý biểu diễn Riesz nói rằng có một phần tử trong có thể mô tả cặp đối ngẫu bằng sản phẩm bên trong trong : $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ Tích hợp theo từng phần tử theo phần tử cho sẽ làm sáng tỏ cặp đối ngẫu này: đối với một phần tử trong tam giác này điều này cho bạn biết rằng nên bao gồm cả yếu tố liên thông lượng nhảy trong biểu diễn cặp đối ngẫu của nó, lưu ý sự tích hợp trên đường biên của mỗi phần tử cũng là một cặp đối ngẫu giữa và $u_h$ $T$ $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ . Ngay cả khi bạn sử dụng cơ sở bậc hai, có không biến mất trên mỗi phần tử, bạn vẫn không thể viết như một sản phẩm bên trong, vì sự hiện diện của bước nhảy liên phần tử này. $\Delta$ $(\Delta u, v)$
Tích hợp bởi các bộ phận có thể được truy nguyên từ lý thuyết Sobolev cho pde elip sử dụng hàm trơn, trong đó các không gian đều đóng các hàm trơn theo loại định mức tích phân . Sau đó mọi người nói sự đều đặn tối thiểu ở đây là gì mà chúng ta có thể thực hiện sản phẩm bên trong. Cũng mang trong tâm trí rằng một giải pháp yếu -regular dưới điều kiện nhất định là các giải pháp -strong (elip đều đặn). Nhưng đa thức tuyến tính liên tục của piecewise không phải là , từ quan điểm này, sẽ không có ý nghĩa gì khi lấy sản phẩm bên trong bằng cách sử dụng . $W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
Đối với một số FEM nhất định, bạn không phải tích hợp theo từng phần. Ví dụ, phần tử hữu hạn Least-vuông. Viết pde đơn hàng thứ hai dưới dạng hệ thống đơn hàng đầu tiên: Sau đó, bạn muốn giảm thiểu chức năng bình phương nhỏ nhất: mang cùng một tinh thần với chức năng Ritz-Galerkin, công thức phần tử hữu hạn của việc giảm thiểu chức năng trên trong một không gian phần tử hữu hạn không yêu cầu tích hợp bởi các bộ phận.
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$

— Thư Giới Cao
nguồn

17

Không có gì ngăn cản bạn thực hiện điều đó về mặt kỹ thuật, nhưng khi bạn tích hợp bởi các bộ phận, bạn sẽ linh hoạt hơn với không gian giải pháp ở chỗ chúng không cần có đều đặn (cần thiết cho công thức không IBP). Các yếu tố tuyến tính mà bạn đề xuất thường có tính liên tục bắt buộc giữa các yếu tố và do đó không thể có trong . Công thức IBP hơn nữa là đối xứng, cũng có một số lợi thế riêng của nó. $H^2$ $H^2$

— Reid.Atcheson
nguồn

1

Bạn có nói rằng các hàm hình dạng tuyến tính đưa ra một giải pháp cho công thức FEM không có trong vì phân biệt giải pháp FEM này hai lần (yếu) cho một tổng các phân phối delta, không có trong ? Điều đó có nghĩa là đối với pde: s có thứ tự cao hơn 2 tôi phải sử dụng các hàm hình dạng có thứ tự cao hơn 1 (ít nhất là nếu không gian thử nghiệm và thử nghiệm phải giống nhau?)?

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

— Christian

1

Những gì bạn đang nói về cơ bản là đúng. Đối với PDE bậc cao hơn thứ hai, bạn không nhất thiết phải sử dụng các không gian đều đặn cao hơn vì viết ra công thức hỗn hợp (xem câu trả lời của Shuhao) có thể giúp ích. Bạn cũng có thể sử dụng các kỹ thuật khác như nhảy phạt để tránh khó khăn này. Đối với câu trả lời FEM cổ điển, vâng, bạn sẽ cần sự đều đặn cao hơn.

— Reid.Atcheson

2

Hãy để tôi nhấn mạnh tầm quan trọng của sự đối xứng. Nếu một toán tử vi phân là tự điều chỉnh, tôi hy vọng sẽ kết thúc với một ma trận đối xứng. Nếu không tích hợp bởi các bộ phận thì điều này sẽ không xảy ra.

— Stefano M

1

Lợi ích tính toán là suy nghĩ chính của tôi khi thêm vào đó, nhưng cũng có những lợi ích lý thuyết mạnh mẽ của tính đối xứng (ngoài các bằng chứng dễ dàng hơn về các sự kiện có khả năng vẫn còn tồn tại trong trường hợp elip, ngay cả khi sự rời rạc là không đối xứng)?

— Reid.Atcheson

15

Câu trả lời tuyệt vời đã có trên trang này, nhưng vẫn còn một điểm thiếu (nhỏ).

OP hỏi:

Bây giờ, giả sử rằng tôi có PDE với các công cụ phái sinh bậc cao hơn, điều đó có nghĩa là có nhiều dạng biến thể có thể xảy ra, tùy thuộc vào cách tôi sử dụng công thức của Green? Và tất cả đều dẫn đến (gần đúng) FEM xấp xỉ?

Tích hợp bởi các bộ phận ( theo cách chính xác ) rất quan trọng khi bạn có loại điều kiện biên Neumann. Trên thực tế, chính nhờ ibp mà bạn tính đến bc Neumann trong công thức biến đổi của bạn. Hình thức của Neumann bc phụ thuộc vào cách bạn tích hợp bởi các bộ phận, xem câu trả lời này về tích hợp bởi các bộ phận trong độ co giãn tuyến tính. Vì vậy, ngay cả đối với PDE hình elip bậc hai, việc tích hợp theo các phần phải được thực hiện theo một cách nhất định, để phục hồi công thức biến đổi có hiệu lực đối với Neumann hoặc các điều kiện biên hỗn hợp. (Và điều này tất nhiên không liên quan đến thực tế là bạn rời rạc bởi FEM).

Trong vật lý toán học, trong đó Neumann bc có ý nghĩa được xác định rõ (thông lượng nhiệt, ứng suất ...), tích hợp bởi các bộ phận là rất quan trọng để duy trì việc giải thích chính xác các kết quả. Ngay cả đối với các điều kiện Dirichlet đồng nhất và FEM thì điều này là đúng, vì nếu chúng ta sử dụng phương pháp số nhân Lagrange để áp đặt bc, các số nhân trở thành đại lượng vật lý, như thông lượng hoặc lực tập trung.

— Stefano M
nguồn