Với một hệ thống tuyến tính ba cực SPD, chúng ta có thể tính toán trước để có thể liên kết ba chỉ số trong thời gian O (1) không?

Hãy xem xét một hệ thống tuyến tính ba cực xác định dương đối xứng trong đó và . Cho ba chỉ số , nếu chúng ta chỉ giả sử các hàng phương trình nghiêm ngặt giữa và giữ, chúng ta có thể loại bỏ các biến trung gian để có phương trình có dạng trong đó . Phương trình này liên quan đến giá trị của với độc lập với ảnh hưởng "bên ngoài" (giả sử, nếu một ràng buộc ảnh hưởng đến được đưa ra).

A x = b

$A x = b$

A \in R^{n \times n}

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

b \in R^{n}

$b \in \mathbb{R}^n$

0 \leq i < j < k < n

$0 \le i < j < k < n$

i

$i$

k

$k$

u x_{i} + v x_{j} + w x_{k} = c

$u x_i + v x_j + w x_k = c$

v > 0

$v > 0$

x_{j}

$x_j$

x_{i}, x_{k}

$x_i,x_k$

x_{0}

$x_0$

Câu hỏi : Có thể xử lý trước hệ thống tuyến tính trong thời gian để phương trình liên kết cho bất kỳ có thể được xác định trong thời gian không? $Ax = b$ $O(n)$ $(i,j,k)$ $O(1)$

Nếu đường chéo của là 2, các đường chéo là và , kết quả mong muốn là kết quả phân tích cho phương trình Poisson rời rạc. Thật không may, không thể chuyển đổi một hệ thống ba cực SPD chung thành phương trình Poisson hệ số không đổi mà không phá vỡ cấu trúc tam giác, về cơ bản vì các biến khác nhau có thể có các mức độ "sàng lọc" khác nhau (độ chính xác dương nghiêm ngặt cục bộ). Ví dụ, một tỷ lệ đường chéo đơn giản của có thể loại bỏ một nửa của nhưng không phải là nửa còn lại. $A$ $-1$ $b = 0$ $x$ $2n-1$ $A$

Theo trực giác, một giải pháp cho vấn đề này sẽ yêu cầu sắp xếp vấn đề sao cho số lượng sàng lọc có thể được tích lũy thành một mảng kích thước tuyến tính và sau đó bằng cách nào đó "hủy bỏ" để đi đến phương trình liên kết cho bộ ba đã cho.

Cập nhật (trực quan hơn) : Về các PDE, tôi có một vấn đề elip tuyến tính rời rạc trong 1D, và tôi muốn biết liệu tôi có thể sử dụng để tính toán trước để tạo ra một loại giải pháp "phân tích" nào đó có thể tìm kiếm được không trong thời gian , nơi tôi được phép thay đổi nơi có các điều kiện biên. $O(n)$ $O(1)$

linear-algebra poisson

— Geoffrey Irving
nguồn

Câu trả lời:

Đây là một giải pháp không ổn định chỉ hoạt động khi khớp nối giữa các biến luôn không biến đổi. Giả sử cho đơn giản rằng . Đầu tiên, tính toán trước các phương trình liên kết cho cho , giả sử $b = 0$ $n$ $(0,i,n-1)$ $0 \le i < n$

x_{i} = a_{i} x_{0} + b_{i} x_{n - 1}

$x_i = a_i x_0 + b_i x_{n-1}$

Bây giờ, với , chúng ta có thể kết hợp các phương trình liên kết thứ và và loại bỏ để có được $i < j$ $i$ $j$ $x_{n-1}$

\begin{aligned} b_{j} x_{i} & = a_{i} b_{j} x_{0} + b_{i} b_{j} x_{n - 1} \\ b_{i} x_{j} & = a_{j} b_{i} x_{0} + b_{i} b_{j} x_{n - 1} \\ b_{j} x_{i} - b_{i} x_{j} & = (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) x_{0} \\ x_{i} & = \frac{a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}}{b_{j}} x_{0} + \frac{b_{i}}{b_{j}} x_{j} \end{aligned}

$\begin{aligned} b_j x_i &= a_i b_j x_0 + b_i b_j x_{n-1} \\ b_i x_j &= a_j b_i x_0 + b_i b_j x_{n-1} \\ b_j x_i - b_i x_j &= (a_i b_j - a_j b_i) x_0 \\ x_i &= \frac{a_i b_j - a_j b_i}{b_j} x_0 + \frac{b_i}{b_j} x_j \end{aligned}$

Quá trình này có thể được lặp lại một lần nữa để loại bỏ cho . Thật không may, chúng ta mất sự ổn định gần hoặc nói chung nếu hệ thống ba cực tách rời thành các khối độc lập. Nếu thì điều này không có vấn đề gì, nhưng tôi lo lắng về sự cố cho các giá trị nhỏ nhưng tích cực. $x_0$ $(i,j,k)$ $b_j = 0$ $b_j = 0$

— Geoffrey Irving
nguồn

Khi thực hiện điều này, tôi có thể xác nhận rằng (1) nó hoạt động theo số học chính xác và (2) nó cực kỳ không ổn định. Theo trực giác, giải pháp này thực hiện một phép ngoại suy các hàm số mũ, phá vỡ đặc tính nội suy đẹp của các bài toán elip.

— Geoffrey Irving

Có vẻ như cách tiếp cận của bạn là tính toán trước một cái gì đó giống như chức năng của Green cho tất cả các chỉ số bên trong. Sau đó, không có gì ngạc nhiên khi bạn sẽ gặp rắc rối khi , vì thông tin về các giá trị biên khó có thể lan truyền đến điểm quan tâm. Tôi không nghĩ rằng sẽ có một cách chung quanh đây. Có vẻ như bạn nên tạo cấu trúc cây tốt hơn (có lẽ đây là nỗ lực tiền mã hóa của ) cho phép bạn có được chức năng của Green cho các phần phụ của miền để vượt qua các điểm rắc rối tiềm ẩn.

b_{j} \approx 0

$b_j\approx 0$

n \log n

$n\log n$

— Victor Liu

Phiên bản cây là tiền mã hóa cộng với trên mỗi ba. Thật không may, tôi đặc biệt tìm kiếm các giải pháp thời gian tuyến tính.

O (n)

$O(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Geoffrey Irving

Tôi tự hỏi liệu bạn có thể làm điều gì đó hữu ích với hệ số giảm chu kỳ của A (mà tôi tin vẫn là kích thước O (n)) hay không, sử dụng lại càng nhiều khối sẽ không thay đổi khi bao gồm một hàm con chính tiếp giáp của A. Tôi nghi ngờ nó cung cấp cho bạn O (1), nhưng có thể O (log n) ...

— Robert Bridson
nguồn

Vâng, giải pháp là ngay lập tức, nhưng thật đáng buồn phá vỡ tiêu đề giấy mong muốn ("Bộ giải trực tiếp thời gian tuyến tính cho các chương trình bậc hai ba chiều lồi với các ràng buộc ràng buộc").

O (\log n)

$O(\log n)$

— Geoffrey Irving

Không có cơ hội khấu hao giúp bạn ra ngoài?

— Robert Bridson

Có rất nhiều khoản khấu hao khác đang diễn ra, vì vậy điều đó hoàn toàn có thể. Tôi không biết làm thế nào, mặc dù.

— Geoffrey Irving

Đây là những gì tôi cần để khấu hao chi phí: cstheory.stackexchange.com/questions/18655/ trộm .

— Geoffrey Irving

Tuyệt quá! Ai đó đã đăng một giải pháp tuyệt vời cho câu hỏi cstheory đó, vì vậy tôi không cần câu trả lời cho câu hỏi này nữa. Hoạt động nhân semigroup trong câu hỏi đó đang loại bỏ một biến trung gian.

— Geoffrey Irving

Đây là một nỗ lực khác, ổn định hơn phương thức hủy nhưng vẫn không tốt lắm.

Nếu là ma trận tam giác SPD, Meurant [1] đưa ra công thức ổn định sau cho các mục nhập của $A$ $B = A^{-1}$

B_{i j} = b_{i + 1} \dots b_{j} \frac{d_{j + 1} \dots d_{n}}{δ_{i} \dots δ_{n}}

$B_{ij} = b_{i+1}\cdots b_j \frac{d_{j+1}\cdots d_n}{\delta_i \cdots \delta_n}$

nơi , là mục offdiagonal tiêu cực và có nguồn gốc từ và factorizations của . Công thức liên kết cho có dạng $i \le j$ $b_i$ $d_i,\delta_i$ $UL$ $LU$ $A$ $i < j < k$

x_{j} = {(\begin{matrix} B_{j i} \\ B_{k i} \end{matrix})}^{T} {(\begin{array}{cc} B_{i i} & B_{i k} \\ B_{k i} & B_{k k} \end{array})}^{- 1} (\begin{matrix} x_{i} \\ x_{k} \end{matrix})

$x_j = \left(\begin{array}{c}B_{ji} \\ B_{ki}\end{array}\right)^T \left(\begin{array}{cc}B_{ii} & B_{ik} \\ B_{ki} & B_{kk}\end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{c}x_i \\ x_k\end{array}\right)$

Thật không may, công thức này vẫn không ổn định. Theo trực giác, nếu và đóng hợp lý một nguồn delta tại tương tự như một tại và ma trận đảo ngược gần với số ít. $i$ $k$ $i$ $k$ $2 \times 2$

[1]: Gerard Meurant (1992), "Một đánh giá về nghịch đảo của đường chéo đối xứng và ma trận khối ba góc".

— Geoffrey Irving
nguồn