Sự khác biệt về khái niệm giữa phần tử hữu hạn và phương pháp thể tích hữu hạn là gì?

Có một sự khác biệt rõ ràng giữa sự khác biệt hữu hạn và phương pháp thể tích hữu hạn (chuyển từ định nghĩa điểm của phương trình sang trung bình tích phân trên các ô). Nhưng tôi thấy FEM và FVM rất giống nhau; cả hai đều sử dụng dạng tích phân và trung bình trên các ô.

Phương thức FEM làm gì mà FVM không có? Tôi đã đọc một chút nền tảng về FEM Tôi hiểu rằng các phương trình được viết ở dạng yếu, điều này mang lại cho phương thức một điểm nêu hơi khác so với FVM. Tuy nhiên, tôi không hiểu ở mức độ khái niệm sự khác biệt là gì. Có phải FEM đưa ra một số giả định liên quan đến việc cái chưa biết khác nhau bên trong tế bào như thế nào, điều này cũng không thể được thực hiện với FVM?

Tôi chủ yếu đến từ quan điểm 1D vì vậy có lẽ FEM có lợi thế với nhiều hơn một chiều?

Tôi không tìm thấy nhiều thông tin có sẵn về chủ đề này trên mạng. Wikipedia có một phần về cách FEM khác với phương pháp sai phân hữu hạn, nhưng đó là về nó, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .

Phần tử hữu hạn: tích phân thể tích, thứ tự đa thức nội bộ

Các phương pháp phần tử hữu hạn cổ điển giả định các không gian xấp xỉ liên tục hoặc yếu liên tục và yêu cầu các tích phân thể tích của dạng yếu được thỏa mãn. Thứ tự chính xác được tăng lên bằng cách tăng thứ tự gần đúng trong các phần tử. Các phương pháp không chính xác bảo thủ, do đó thường đấu tranh với sự ổn định cho các quy trình không liên tục.

Khối lượng hữu hạn: tích phân bề mặt, thông lượng từ dữ liệu không liên tục, thứ tự tái thiết

Các phương pháp thể tích hữu hạn sử dụng các không gian gần đúng hằng số piecewise và yêu cầu tích phân chống lại các hàm kiểm tra hằng số piecewise để được thỏa mãn. Điều này mang lại tuyên bố bảo tồn chính xác. Tích phân thể tích được chuyển đổi thành tích phân bề mặt và toàn bộ vật lý được chỉ định theo các thông lượng trong các tích phân bề mặt đó. Đối với các vấn đề hyperbol đầu tiên, đây là một giải pháp Riemann. Thông lượng thứ hai / elip là tinh tế hơn. Thứ tự chính xác được tăng lên bằng cách sử dụng các lân cận (một cách bảo thủ) để tái cấu trúc các biểu diễn bậc cao hơn của trạng thái bên trong các phần tử (tái tạo / giới hạn độ dốc) hoặc bằng cách tái tạo các từ thông (giới hạn từ thông). Quá trình tái cấu trúc thường là phi tuyến để kiểm soát các dao động xung quanh các tính năng không liên tục của giải pháp, xem tổng phương pháp giảm dần biến đổi (TVD) và về cơ bản không dao động (ENO / WENO). Một sự rời rạc phi tuyến là cần thiết để đồng thời đạt được cả độ chính xác cao hơn bậc đầu tiên trong các vùng trơn tru và tổng biến thiên giới hạn giữa các điểm không liên tục, xemĐịnh lý của Godunov .

Bình luận

Cả FE và FV đều dễ dàng xác định độ chính xác của lệnh thứ hai trên các lưới không có cấu trúc. FE dễ dàng vượt qua trật tự thứ hai trên lưới không có cấu trúc. FV xử lý các mắt lưới không tuân thủ dễ dàng và mạnh mẽ hơn.

Kết hợp FE và FV

Các phương pháp có thể được kết hôn theo nhiều cách. Các phương pháp Galerkin không liên tục là các phương thức phần tử hữu hạn sử dụng các hàm cơ sở không liên tục, do đó có được các bộ giải Riemann và mạnh mẽ hơn cho các quy trình không liên tục (đặc biệt là hyperbolic). Các phương pháp DG có thể được sử dụng với các bộ hạn chế phi tuyến (thường giảm một số độ chính xác), nhưng đáp ứng bất đẳng thức entropy khôn ngoan của tế bào mà không giới hạn và do đó có thể được sử dụng mà không giới hạn trong một số vấn đề trong đó các sơ đồ khác yêu cầu bộ hạn chế. . , xem câu trả lời này$P_N P_M$

Sự khác biệt về khái niệm của FEM và FVM cũng tinh tế như sự khác biệt giữa cây và cây thông.

Nếu bạn so sánh một lược đồ FEM nhất định với sự phân biệt FVM được áp dụng cho một vấn đề cụ thể thì bạn có thể nói về những khác biệt cơ bản trở nên rõ ràng trong các cách tiếp cận thực hiện khác nhau và các thuộc tính gần đúng khác nhau (như @Jed Brown đã đưa ra trong câu trả lời của anh ấy).

Nhưng nói chung tôi sẽ nói rằng FVM là một trường hợp đặc biệt của FEM, sử dụng một lưới các ô và các hàm kiểm tra hằng số từng phần. Mối quan hệ này cũng được sử dụng để phân tích hội tụ FVM vì nó có thể được tìm thấy trong cuốn sách của Grossmann, Roos & Stynes: Xử lý số các phương trình vi phân từng phần .

Sự khác biệt cơ bản chỉ đơn giản là ý nghĩa được gắn liền với kết quả. FDM dự đoán các giá trị điểm của bất kỳ khía cạnh nào của giải pháp. Nội suy giữa các giá trị này thường để lại cho trí tưởng tượng của người dùng. FVM dự đoán trung bình của các biến được bảo tồn trong các khối điều khiển cụ thể. Do đó, nó dự đoán các biến được bảo tồn tích hợp và có thể được hiển thị để hội tụ đến các giải pháp yếu (không liên tục). FEM đưa ra một tập hợp các giá trị riêng biệt mà từ đó một giải pháp gần đúng có thể được suy luận rõ ràng ở mọi nơi bằng cách gọi một tập hợp các hàm cơ sở. Thông thường, nhưng không nhất thiết, các biến liên quan là bảo thủ. Có thể có các phương pháp khác biệt hữu hạn theo cách bảo thủ theo một nghĩa nào đó, theo một quy tắc bậc hai cụ thể.

Đây là những vấn đề của định nghĩa. Có nhiều biến thể của cả ba phương pháp. Không phải mọi phương pháp đều rõ ràng về một loại và các chi tiết khác nhau giữa các khu vực ứng dụng. Các nhà nghiên cứu phát minh ra một phương pháp mới sử dụng những công cụ đó sẽ giúp cung cấp các thuộc tính mà họ đang tìm kiếm. Đó là, như bạn dường như đã tìm thấy, rất khó để tìm thấy một cuộc thảo luận có thẩm quyền và tôi sẽ khó có thể cung cấp một cuộc thảo luận. Lời khuyên tốt nhất mà tôi có thể đưa ra là tiếp tục đọc, không mong đợi một câu trả lời hoàn toàn rõ ràng, nhưng hãy tin tưởng vào những điều có ý nghĩa với bạn.