Có phần mềm phần tử hữu hạn nào xử lý nhiều hơn năm chiều không?

Tôi là người mới bắt đầu với FE. Ứng dụng của tôi là định giá các công cụ tài chính phái sinh trong đó không gian là năm chiều. Vì vậy, thêm thời gian, vấn đề có sáu chiều.

Tôi đã cố gắng nhìn xung quanh (Fenics, escript, deal.II, ...), nhưng sự hiểu biết của tôi là những phần mềm đó bị giới hạn ở mức 3 + 1 (không gian 3d + 1d thời gian). Điều này có đúng không?

Ngôn ngữ được nhắm mục tiêu của tôi là Python hoặc C ++.

Mô tả vấn đề của
tôi Tôi muốn định giá một sản phẩm đầu tư trong đó, mỗi tháng, nhà đầu tư có tự do đầu tư lại hay không. Tôi muốn làm như vậy với biến động ngẫu nhiên, lãi suất ngẫu nhiên và tỷ lệ tử vong ngẫu nhiên.
Các PDEs ngẫu nhiên giống như thế này Trong đóμ S t là hằng số phụ thuộc thời gian liên quan đến giá cổ phiếuSvàB S t là một quá trình Levy độc lập tạo ra tiếng ồn trong giá cổ phiếuS. Tương tự như vậy đối với số lượng khác:v σ t là một đại lượng phụ thuộc thời gian liên quan đến sự biến độngσ. HãyCτbiểu thị các khoản đầu tư có thể chấp nhận vào thời điểm

$$\begin{align} dS_t &= \mu^S_t d_t + \sqrt{\sigma_t} dB^S_t &\text{(stock)}\\ d\sigma_t &= \mu^\sigma_t dt + \nu^\sigma_t dB^\sigma_t & \text{(volatility)} \\ dr_t &= \mu^r_t dt + \nu^r_t dB^r_t & \text{(interest rate)} \\ dq_t &= \mu^q_t dt + \nu^q_t dB^q_t & \text{(mortality)} \end{align}$$ $\mu^S_t$$S$$B^S_t$$S$$\nu^\sigma_t$$\sigma$
$C_\tau$$\tau$. Các ngẫu nhiên vấn đề kiểm soát trông giống như Các PDEs trên là liên tục, nhưng giá trị của sản phẩm V $$V_\tau = max \left\{ c \in C_\tau : P(\text{death})E(r_\tau f(S_{\tau+1})) + P(alive)E(r_\tau V_{\tau+1})\right\}.$$ $V_\tau$được giải quyết chỉ được xác định trước -times, nói mỗi tháng.$\tau$

Tôi đoán Monte-Carlo luôn có thể vũ phu vấn đề của tôi, nhưng nó rất chậm.

Dạng có thể định của PDEs ngẫu nhiên
Về phần này, giả sử rằng giá trị của tùy chọn là xác định trên nguyên thiên nhiên thời gian t , không phải là τ -times, với c t đầu tư vào thời điểm t . Xác định toán tử vi phân L

$$V : (t, S_t, \sigma_t, r_t, q_t, c_t) \mapsto (t, V_t),$$ $t$$\tau$$c_t$$t$
nơi liên tục phụ thuộc thời gian{μ S t ,...}được bỏ qua. PDE xác định là sau đó ∂tVt+(Lt+L S t +L σ t +L r t +L q t )Vt=0, có thể thích nghi với vấn đề kiểm soát tối ưu trênτ-times. $$\begin{align} L_t &= \partial_{r,S} + \partial_{r,\sigma} + \partial_{\sigma,S} \\ L^S_t &= \sigma_t \partial_S + r_t \partial_{S,S} \\ L^r_t &= \partial_r + \partial_{r,r} \\ L^\sigma_t &= \partial_\sigma + \partial_{\sigma,\sigma} \\ L^q_t &= \partial_q + \partial_{q,q} \end{align}$$ $\{\mu^S_t,\ldots\}$ $$\partial_t V_t +\left(L_t+ L^S_t + L^\sigma_t + L^r_t+L^q_t\right)V_t = 0,$$ $\tau$

Giả sử bạn muốn giải các phương trình Black-Scholes hoặc một biến thể trong danh mục đầu tư gồm 5 tài sản, thì bạn thực sự có 5 không gian cộng với một chiều thời gian. Tôi không biết bất kỳ gói FEM nào có thể làm điều đó ngoài đỉnh đầu của tôi (thỏa thuận. Tôi không thể làm điều đó, nhưng xem bên dưới) nhưng tôi nghĩ rằng một số người trong nhóm của Chris Schwab tại ETH Zurich đã giải quyết như vậy vấn đề sử dụng lưới thưa thớt. Bạn có thể nhận được may mắn nhìn xung quanh các ấn phẩm của mình.

Có các phương trình khác có kích thước thêm. Một ví dụ là phương trình truyền bức xạ có 3 không gian + 1 thời gian + 2 góc + 1 chiều năng lượng. Cách giải quyết này thường là phân tách không gian 3 chiều như bình thường, sau đó phân tách kích thước góc và năng lượng trên các lưới 2 và 1 chiều riêng biệt và tại mỗi điểm nút của lưới không gian chỉ đơn giản là có rất nhiều biến số (mỗi một cho mỗi nút của lưới góc nhân với số nút trong lưới năng lượng). Chúng tôi sử dụng sơ đồ này trong triển khai deal.II thành công. Điều này có ý nghĩa đối với phương trình truyền bức xạ và nó có thể được mô phỏng theo phương trình của bạn ngay cả khi nó không tự nhiên ở đó.

DUNE, Môi trường Số học Phân tán và Hợp nhất http://www.dune-project.org , có một số lưới có cấu trúc có kích thước tùy ý (SGrid và Yaspgrid), xem các tính năng của DUNE . Hiện tại, có một chi nhánh biến yaspgrid, một trong những lưới ở trên, thành một lưới sản phẩm tenor, nếu đó là điều đáng quan tâm. Vì phiên bản 2.0 (phiên bản hiện tại là 2.2.1 và sắp có 2.3), chúng tôi có các yếu tố tham chiếu cho các phương thức phần tử hữu hạn khác nhau hỗ trợ các kích thước tùy ý. Do đó, có thể thiết lập sự phân biệt phần tử hữu hạn của kích thước tùy ý, ví dụ như mô-đun phân rã dune-pdelab . Mặc dù điều này có thể không được kiểm tra thường xuyên.

Có nói rằng, vẫn còn lời nguyền của chiều hướng như Wolfgang chỉ ra.

Để biết thêm thông tin, tôi giới thiệu bạn đến danh sách gửi thư của DUNE .

Ok, có vẻ như những gì bạn có là một bộ ODE được ghép nối, vì theo như tôi có thể nói, chỉ có các công cụ phái sinh liên quan đến thời gian và không có công cụ phái sinh nào liên quan đến bất kỳ điều gì khác. Có khá nhiều gói để giải quyết các hệ thống ODE có kích thước tùy ý (Matlab có công cụ như thế ode45). Đối với Python, hãy xem câu hỏi này để biết một số gợi ý. Cuối cùng, có mã Fortran cũ trên netlib có thể được giao tiếp với C ++ khá dễ dàng (dễ sử dụng là một vấn đề khác). Có lẽ có những lựa chọn thay thế tốt hơn ngoài kia kể từ khi tôi nhìn (những người khác nên bấm chuông).