Lỗi đặc biệt khi giải phương trình Poisson trên phương pháp thể tích hữu hạn không đồng nhất (chỉ 1D)

Tôi đã cố gắng sửa lỗi này trong vài ngày qua tôi tự hỏi liệu có ai có lời khuyên về cách tiến hành không.

Tôi đang giải phương trình Poisson cho phân bố điện tích bước (một vấn đề phổ biến trong vật lý tĩnh điện / bán dẫn) trên lưới thể tích hữu hạn không đồng nhất trong đó ẩn số được xác định trên tâm tế bào và từ thông trên mặt tế bào.

0 = (ϕ_{x})_{x} + ρ (x)

$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$

hồ sơ tính phí (thuật ngữ nguồn) được đưa ra bởi,

ρ (x) = {\begin{cases} - 1, & if - 1 \leq x \leq 0 \\ 1, & if 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\rho(x)= \begin{cases} -1,& \text{if } -1 \leq x \leq 0\\ 1,& \text{if } 0 \leq x \leq 1\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

và các điều kiện biên là,

ϕ (x_{L}) = 0 \frac{\partial ϕ}{\partial x} |_{x_{R}} = 0

$\phi(x_L)=0 \\ \frac{\partial\phi}{\partial x}\bigg|_{x_R}=0$

và tên miền là . $[-10,10]$

Tôi đang sử dụng mã được phát triển để giải phương trình phản ứng khuếch tán (tôi đã tự viết thấy các ghi chú của mình ở đây, http://danieljfarrell.github.io/FVM ). Phương trình phản ứng khuếch tán-phản ứng là một trường hợp tổng quát hơn của phương trình Poisson. Thật vậy, phương trình Poisson có thể được phục hồi bằng cách đặt vận tốc tiến lên 0 và loại bỏ số hạng tạm thời.

Mã này đã được thử nghiệm dựa trên một số tình huống đối với các lưới đồng nhất, không đồng nhất và ngẫu nhiên và luôn tạo ra một giải pháp hợp lý ( http://danieljfarrell.github.io/FVM/examples.html ) cho phương trình phản ứng khuếch tán.

$\Omega_8$ $\Omega_9$

Bất kỳ ý tưởng những gì có thể có thể gây ra vấn đề này? Hãy cho tôi biết nếu nhiều thông tin liên quan đến sự phân biệt sẽ hữu ích (tôi không muốn gói quá nhiều chi tiết vào câu hỏi này).

Lỗi đặc biệt khi giải phương trình Poisson

discretization finite-volume poisson

— tẩy chay
nguồn

x = 0

$x=0$

ρ = - 1

$\rho = -1$

Thuật ngữ phản ứng trông như thế nào?

— Jan

Sơ đồ nào bạn sử dụng để tính gần đúng các tích phân của thuật ngữ nguồn? Hành vi này cũng có thể được gây ra bởi việc lấy mẫu nguồn không đủ. (Điều gì, có lẽ, là cùng một cơ chế được đề cập trong câu trả lời của @JLC.)

— Ngày

ρ

$\rho$

ρ

$\rho$

@JLC BCs Dirichlet được áp dụng bằng cách tiếp cận tế bào ma (ghi chú của tôi trực tuyến đã hết hạn về chi tiết triển khai này), xem tại đây để biết cách tôi thực hiện, scicomp.stackexchange.com/questions/8538/ tựa

— boyfarrell

Câu trả lời:

Chỉ là một bên, tài liệu github của bạn là tuyệt vời.

Đây chỉ là phỏng đoán từ các phương thức DG, có thể có các vấn đề tương tự nếu thông lượng số không được chọn cẩn thận (tôi cho rằng các phương thức FV là tập hợp con của các phương thức DG). Nếu bạn đang sử dụng phép nội suy từ các trung tâm tế bào để xác định thông lượng của mình, thì điều này sẽ tương đương với việc sử dụng trung bình dưới dạng thông lượng số trong DG và sử dụng cơ sở hằng số piecewise. Đối với các phương thức DG tiêu chuẩn cho Poisson, điều này dẫn đến các giải pháp không phải là số duy nhất - bạn có thể nhận được một không gian rỗng không tầm thường cho toán tử rời rạc, mà tôi nghĩ là nguyên nhân gây ra vấn đề của bạn trong ví dụ thứ 2. Xem bài viết DG này cho lý thuyết của họ về nó từ phía DG.

Tôi sẽ cố gắng đưa ra một ví dụ cho FV để cho thấy điều này diễn ra như thế nào.

$\rho(x) = 0$ $f(x_{20}) = 0$ $f(x_{19}) = \ldots = f(x_{11}) = 0$ $\phi(x)$

$f(x_{i+1})-f(x_i) = 0$ $f(-10) = 0$ $f(-10) = \phi_{9.5} - \phi_{\rm ghost} = \phi_{9.5}$ $f(x_i) = f(-10) = \phi_{9.5}$

$f(10)$ $\phi(9.5)$

$x=-10$

— Jesse Chan
nguồn

Từ thử nghiệm tôi có thể chứng minh rằng phương thức FVM chỉ ổn định khi các ô ở hai bên của sự gián đoạn (thay đổi dấu hiệu) của hàm nguồn có khối lượng bằng nhau. Phân tích của bạn sẽ đồng ý với điều này? Điều này có nghĩa là tôi phải chú ý nhiều hơn đến việc tạo ra một mạng lưới hợp lý cho các vấn đề của tôi mà tôi đã làm trước đây. Có lẽ tôi nên xem xét việc học phương pháp FEM tiếp theo?

— boyfarrell

Một bài viết có liên quan, mặc dù tôi không hoàn toàn theo dõi tất cả các chi tiết, jstor.org/discover/10.2307/2157873

— boyfarrell

Phương thức FVM chỉ ổn định trong trường hợp này khi lưới được căn chỉnh với hàm nguồn bằng cách nào đó. Nếu chức năng nguồn của bạn thay đổi, thì bạn sẽ phải điều chỉnh lại lưới của mình. Tôi không nghĩ việc tạo ra một lưới hợp lý là cách tiếp cận đúng cho vấn đề này - bạn có một phương pháp không ổn định.

— Jesse Chan

Đó là một phát hiện tốt. Suli's một nhà phân tích vững chắc. Tôi có thể nói rằng học FEM có thể rất thú vị, nhưng FD cũng sẽ hoạt động cho bất kỳ vấn đề 1D hình elip nào. Bạn cũng có thể thấy những người FV làm gì (có thể tăng thông lượng của họ bằng các điều khoản phạt) để có được sự hội tụ cho các vấn đề elip bậc 2 trên lưới chung. Trí tuệ dân gian toán học thường nói rằng FV / FD ngược dòng là tuyệt vời cho các vấn đề hyperbol trong khi FEM / trung tâm FD là tuyệt vời cho elip.

— Jesse Chan

Tôi đang sửa đổi vấn đề này. Đọc lại câu trả lời của bạn Tôi phải nói rằng nó thật tuyệt vời! Tôi thấy quan điểm của bạn rằng phương thức nên thay đổi bởi vì đó là gốc rễ của vấn đề (không phải lưới). Bạn có bất cứ đề xuất hoặc những điều tôi có thể làm theo (có thể nói với một người không phải là chuyên gia) về cách ước lượng tốt hơn thông lượng trong trường hợp này. Tức là theo cách có thể làm cho nó ổn định hơn. Nếu có thể tôi muốn tìm một FVM tốt hơn cho phương trình này.

— boyfarrell

Điều đầu tiên cần chú ý là điều kiện biên của bạn. Vì bạn có thể thay đổi độ dốc và giá trị, bạn không có điều kiện Dirichlet cũng như Neumann.

Sau đó, mỗi đường thẳng là một giải pháp trong đó phía bên tay phải bằng không. Bạn có phần đó.

$h$ $h$

— Guido Kanschat
nguồn

ρ \equiv 0

$\rho \equiv 0$

ϕ \equiv 0

$\phi \equiv 0$