Là tính toán bên ngoài rời rạc hiện đang là một điểm tập trung trong thế giới điện toán số hoặc mô phỏng trong công nghiệp,

Tôi chỉ tự hỏi nếu tính toán bên ngoài rời rạc, như một phương pháp số mới, có tốt trong việc giải quyết các vấn đề về độ đàn hồi, chất lỏng hoặc khu vực vật lý / thực tế khác.

Phát biểu từ một nền tảng điện từ tính toán, tôi nghĩ rằng đó là một cách rất thanh lịch để phân biệt các vấn đề. Tôi đã sử dụng nó với thành công trong các vấn đề về mã nguồn và giá trị biên. Nó có lẽ kém chính xác hơn so với sự phân rã phần tử hữu hạn nghiêm ngặt nếu bạn sử dụng các sao Hodge chéo (xấp xỉ khối lượng gộp), nhưng tôi nghĩ rằng nó vẫn đạt được tốc độ hội tụ tiệm cận giống nhau nếu bạn tính toán các sao Hodge của mình một cách cẩn thận cơ học liên tục). Vì vậy, nó có lẽ chỉ là một yếu tố không đổi nhỏ tồi tệ hơn (về lý thuyết, trong thực tế, nó có thể không đáng kể).

DEC đơn giản hóa rất nhiều công thức của các vấn đề và cho phép bạn tập trung hơn vào vật lý của vấn đề. Việc xây dựng các ngôi sao Hodge buộc bạn phải suy nghĩ về ý nghĩa của các mối quan hệ cấu thành và cách thức thực hiện trung bình không gian có ý nghĩa về mặt vật lý. Nó dường như cũng bảo tồn nhiều đối xứng quan trọng của các vấn đề liên tục trong cài đặt riêng biệt và có thể dễ dàng chứng minh những điều này hơn trong cài đặt phần tử hữu hạn.

Cuối cùng, là một người viết mã, tôi đánh giá cao việc không phải thực hiện phép cầu phương trong quá trình lắp ráp ma trận. Thay vào đó, bạn thường có thể tính toán các ngôi sao Hodge bằng cách sử dụng trung bình không gian phân tích bằng các hình thức biến đổi không gian giả định. Trong điện từ nơi chúng ta có các tính chất vật liệu không đổi trong không gian, các trung bình này có thể được tính toán chính xác, làm cho toàn bộ vấn đề trở nên trơn tru đối với các nhiễu loạn nhỏ trong hình học không gian. Điều này hỗ trợ rất nhiều cho bất kỳ tối ưu hóa nào bạn có thể muốn thực hiện theo phương pháp của mình.

Câu trả lời này trễ vài năm, nhưng tôi cảm thấy những câu hỏi đó vẫn còn liên quan đến ngày hôm nay. Trong những năm gần đây, các ứng dụng mới của DEC đã xuất hiện trong các lĩnh vực như đồ họa máy tính, xử lý hình học, phương trình Navier-Stokes và dòng chảy Darcy. Trong phần giới thiệu của bài báo được đề xuất dưới đây, bạn sẽ tìm thấy một tổng quan nhanh về các lĩnh vực (bao gồm độ co giãn tuyến tính, điện động lực học và tích hợp biến thiên) trong đó DEC đã được sử dụng (một số tác giả được trích dẫn đã hoạt động khá nhiều trong tài liệu của DEC).

Như timur đã nói trong một câu trả lời trên blog mathoverflow, sự hội tụ có thể đạt được trong các trường hợp đặc biệt bằng cách liên quan đến DEC với các phương thức khác được biết là hội tụ. Tuy nhiên, những nỗ lực nghiêm túc trong việc phát triển một khuôn khổ chung để giải quyết các vấn đề hội tụ đã được thực hiện. Gần đây, chúng tôi đã chứng minh sự hội tụ của các giải pháp DEC cho vấn đề Poisson (về các hàm, tức là dạng 0) theo chiều tùy ý trong định mức L2 rời rạc. Nhiều vấn đề và câu hỏi liên quan đến hành vi tiệm cận của các giải pháp rời rạc trong các tiêu chuẩn khác vẫn còn bỏ ngỏ, nhưng sau đây là một bước được hoan nghênh để hiểu rõ hơn về lý thuyết: https://arxiv.org/abs/1611.03955 (Sự hội tụ của Ngoại thất rời rạc Tính toán gần đúng cho các vấn đề Poisson, Erick Schulz và Gantumur Tsogtgerel, 2016).

Tính toán ngoại thất rời rạc (DEC) có những ưu và nhược điểm:

Ưu điểm:

Dễ "sử dụng" Đối với một học sinh, khá dễ dàng để lắp ráp một phần rời rạc và một bộ giải cho một PDE đơn giản, ví dụ Laplace / Poisson trên bề mặt cong (Laplace Beltrami). Nó làm cho phương pháp này rất phổ biến trong Đồ họa máy tính, sau phòng thí nghiệm hình học Caltech. thực hiện một số khóa học tại hội nghị đồ họa chính (SIGGRAPH), xem tài liệu tham khảo trong câu trả lời khác. Điều đặc biệt là trong Đồ họa máy tính, nơi học sinh biết ma trận tốt, nhưng ít quen thuộc với các tích phân. Sử dụng DEC, họ có thể "chơi lego" và giải các PDE đơn giản mà không phải chịu đựng quá nhiều.

Làm cho một số tính toán đơn giản hơn DEC là sự phát sinh của EC (Tính toán bên ngoài, được phát minh bởi Elie Cartan từ năm 1899 đến năm 1945). Trung tâm trong EC, có khái niệm về hình thức ("những thứ được tích hợp") và chuỗi ("miền tích hợp") và tính hai mặt giữa chúng. Một số định lý (Stokes, Green-Gauss, Ostrogradsky và định lý cơ bản của phân tích) là một trường hợp đặc biệt của tính đối ngẫu này. Điều này không chỉ thanh lịch mà còn giúp việc tính toán đơn giản hơn trong một số trường hợp (như trong điện từ) và tránh tham chiếu đến việc tham số hóa các vật thể trong nhiều trường hợp (ví dụ như khi thao tác các trường vectơ trên bề mặt hoặc trong cài đặt không gian cong của thuyết tương đối).

Triển lãm mức độ tự do không cần thiếtBằng cách giải thích mối quan hệ giữa các hình thức ("những thứ được tích hợp") và chuỗi ("miền tích hợp"), EC có thể thể hiện tham số hóa không cần thiết của các đối tượng, như trường vectơ trên bề mặt và giải thích mối quan hệ giữa cấu trúc liên kết của trường vectơ và bề mặt bên dưới (tương đồng: cấu trúc liên kết của các đường cong được vẽ trên bề mặt, đồng cấu trúc: cấu trúc liên kết của các trường vectơ), xem [1] để nghiên cứu sâu. Chúng tôi đã sử dụng nó trong [2,3] để nghiên cứu mức độ tự do tôpô của các trường vectơ rời rạc. Một ví dụ ấn tượng về sức mạnh của loại lý luận này là bằng chứng của Gortler et.al về định lý nhúng phẳng của Tutte [4]. Bằng chứng trước đây của định lý này (bởi Tutte, và sau đó bởi Colin de Verdière) đòi hỏi một nền tảng nhất định về lý thuyết đồ thị để được hiểu. Bằng chứng của Gortler et. al dễ tiếp cận hơn nhiều,

Nhược điểm:

Phiên bản đơn giản hóa của DEC được quảng bá bởi phòng thí nghiệm hình học Caltech. ẩn nhiều chi tiết dưới mui xe. Mặc dù có thể đưa ra các phương trình Laplace và Poisson trên cả cài đặt Euclide và cong, nhưng một số vấn đề nhanh chóng gặp phải khi phân biệt các phương trình phức tạp hơn, bởi vì nó không đặt ra các câu hỏi liên quan đến cài đặt liên tục và / hoặc các thuộc tính mà được bảo tồn bởi sự rời rạc (danh tính với div / grad / curl, được gọi là phức hợp Hodge, được nghiên cứu bởi các nhà toán học như Jenny Harisson và Robert Kotiuga). Cách nó được sử dụng trong Đồ họa máy tính (chủ yếu cho phương trình Laplace) không mang lại nhiều hơn trong hầu hết các trường hợp so với Laplacian P1 FEM cổ điển. Tôi có xu hướng thích Laplacian P1 FEM cổ điển, bởi vì cả hai đều cung cấp cho bạn công thức của sự rời rạc và giải thích cho bạn$B^{-1}A$$B$$A$$B$$B$

Kết luận / Tóm tắt: EC và DEC là một lý thuyết mạnh mẽ để nghiên cứu các vấn đề phức tạp (điện từ, trường vectơ trên các bề mặt của cấu trúc liên kết tùy ý). Cách nó được sử dụng trong Đồ họa máy tính giúp đơn giản cho những sinh viên không biết tích hợp để làm những việc đơn giản. Đối với những điều đơn giản, tôi có xu hướng thích công thức FEM cổ điển, trong đó đường dẫn khấu trừ hoàn chỉnh dễ dàng hơn từ lý thuyết cho đến sự rời rạc cùng với các đảm bảo lý thuyết. Đối với những điều phức tạp, nó có thể rất thanh lịch và hiệu quả (với điều kiện là tất cả con đường lý luận được bảo tồn thay vì chỉ "chơi lego" với một số dạng của ngôi sao Hodge rời rạc và đạo hàm bên ngoài rời rạc).

[1] Douglas Arnold, Tính toán ngoại vi phần tử hữu hạn, 2006

[2] Thiết kế trường hướng đối xứng N, ACM Trans. Đồ thị., 2008

[3] Xử lý trường hướng nhận biết hình học, ACM Trans. Đồ thị., 2009

[4] Một bằng chứng cơ bản về Định lý nhúng phẳng của Tutte, Gortler, Gotsmann, Thurston, 2006, Thiết kế hình học hỗ trợ máy tính

Tôi có thể nói rằng dường như có một số lợi ích, nhưng nó không bùng nổ. Đó là một chút quá hữu hạn âm lượng-y cho thị hiếu của tôi, nhưng tôi là một người yếu tố hữu hạn.

Tôi rất quan tâm đến câu trả lời cho câu hỏi này khi có liên quan đến HPC và máy tính khoa học nói chung, nhưng chắc chắn đã có rất nhiều kết quả tốt đẹp trong hình học tính toán, ví dụ như trong nhiều ấn phẩm và tài liệu tham khảo ở đây: http: / /www.geometry.caltech.edu/pub.html