F (x) = 0 so với | | F (x) || ^ 2-> phút

Trong nhiều lĩnh vực ứng dụng, người ta cần giải hệ phương trình phi tuyến

$$F(x) = 0.$$ Đôi khi, công thức được sử dụng. Rõ ràng, mọi giải pháp \ hat {x} của F (x) = 0 cũng là một giải pháp cho vấn đề thứ hai; điều ngược lại cũng đúng (nếu một giải pháp tồn tại). $$\|F(x)\|^2 \to\min$$ $\hat{x}$$F(x)=0$

Câu hỏi là nếu người ta có thể nói với a-prori thì công thức nào phù hợp hơn cho một vấn đề nhất định. Mọi người đã làm việc này trước đây?

---

Một ví dụ

Hãy xem xét hàm

$$F(x, y) = \begin{pmatrix} x^3 - 3x y^2 - 1\\ 3 x^2 y - y^3 \end{pmatrix}.$$ Nó có ba gốc $x_1=(1,0)$ (màu xanh lục trong hình bên dưới), $x_2=(-0.5,\sqrt{3}/2)$ (màu xanh), $x_3=(-0.5,-\sqrt{3}/2)$ (màu đỏ). Khi áp dụng phương pháp của Newton cho $F$ , điểm bắt đầu sẽ xác định giải pháp nào trong ba giải pháp chúng tôi hội tụ.

Màu càng đậm thì càng cần nhiều lần lặp Newton. Các fractals Newton điển hình xuất hiện.

Khi tìm điểm phê bình $\nabla (\|F(x)\|^2) = 0$ , một lần nữa với phương pháp của Newton, hình ảnh hơi khác một chút.

Lưu ý rằng điểm là điểm tới hạn của , nhưng không có giải pháp nào về .$(0,0)$$\|F(x)\|^2$$F(x)=0$

Điều này nhấn mạnh một vấn đề có thể xảy ra với -formulation.$\min$

Bạn đã sử dụng đồ họa đẹp trong câu hỏi, nhưng tôi nghĩ rằng tôi đã trả lời câu hỏi khá rõ ràng trong câu trả lời này , trong đó có một ví dụ hoạt động khác.

Để tóm tắt, chúng tôi đã bắt đầu với một vấn đề tối ưu hóa có một giải pháp duy nhất mà chúng tôi có thể đảm bảo rằng một phương pháp sẽ tìm thấy. Chúng tôi đã điều chỉnh lại như một vấn đề tìm kiếm gốc phi tuyến có một giải pháp duy nhất mà chúng tôi có thể xác định cục bộ, nhưng một phương pháp tìm kiếm gốc (như Newton) có thể bị đình trệ trước khi tiếp cận nó. Sau đó, chúng tôi đã định dạng lại vấn đề tìm kiếm gốc là một vấn đề tối ưu hóa có nhiều giải pháp cục bộ (không có biện pháp cục bộ nào có thể được sử dụng để xác định rằng chúng tôi không ở mức tối thiểu toàn cầu).

Nói chung, mỗi lần chúng tôi chuyển đổi một vấn đề từ tối ưu hóa sang rootfinding hoặc ngược lại, chúng tôi làm cho các phương thức có sẵn và sự hội tụ liên quan đảm bảo yếu hơn. Các cơ chế thực tế của các phương thức thường rất giống nhau nên có thể sử dụng lại rất nhiều mã giữa các bộ giải phi tuyến và tối ưu hóa.

Vui lòng tinh chỉnh câu hỏi của bạn nếu bạn muốn hỏi một cái gì đó cụ thể hơn.