Giải quyết một hệ thống thưa thớt không đối xứng không theo đường chéo là cách tốt nhất

8

Tôi yếu ớt nhớ lại từ các bài giảng "số học" đầu tiên của mình rằng các bộ giải tuyến tính lặp cho thường yêu cầu khi bị phân rã thành $Ax=b$ $A$

A = D + M

$A=D + M$

Trong đó D là ma trận đường chéo và có đường chéo bằng 0, các phần tử của sẽ chiếm ưu thế so với các mục trong để các bộ giải lặp để thực hiện tốt. $M$ $D$ $M$

Điều gì xảy ra nếu đó không phải là trường hợp và các mục của trở nên thực sự nhỏ? $D$

Tôi có nên sử dụng một người giải quyết trực tiếp sau đó?

Cụ thể hơn, hệ thống tuyến tính mà tôi muốn giải quyết liên quan đến ma trận trong đó phần không đường chéo là hằng số nhưng phần đường chéo phụ thuộc vào một tham số theo một cách không tầm thường. Cho đến nay, tôi không thấy cách giải cho mỗi một lần nữa.

A (ω) = D (ω) + M

$A(\omega) = D(\omega) + M$

ω

$\omega$

A (ω) x = b

$A(\omega) x = b$

ω

$\omega$

Các mục chéo có dạng nơi là một số số thực mà phụ thuộc vào hàng chúng tôi đang ở trong khi là một yếu tố hội tụ rất nhỏ và là đơn vị ảo. Có thể điều này dẫn đến mất ổn định số khi ? $A_{jj} = \omega + z_j + i\eta$ $z_j$ $\eta$ $i$ $\omega + z \approx 0$

$A(\omega)$ $\eta$ $0$ $A(\omega)$ $\eta$ $10$

linear-algebra sparse-matrix

— Lagerbaer
nguồn

@JackPoulson Stokes có lẽ là ví dụ điển hình cho vấn đề điểm yên ngựa PDE. Navier-Stokes không nén được đôi khi được gọi là vấn đề điểm yên chung vì nó không đối xứng, nhưng có cùng cấu trúc ràng buộc.

— Jed Brown

@JedBrown: Đủ công bằng, rõ ràng là tôi đã không làm việc trên Stokes! Tôi luôn nghĩ về các phương pháp hỗn hợp cho Darcy khi tôi nghĩ về điểm yên ngựa.

— Jack Poulson

4

Mặc dù nó đặt ra một số hạn chế về phương pháp nào sẽ hoạt động, việc thiếu sự thống trị đường chéo hoặc tính đối xứng không phải là thảm họa. Tuy nhiên, các tính chất này thường liên quan đến vấn đề khó khăn hơn về ảnh hưởng không cục bộ và khó khăn của quá trình thô, và nhiều bộ giải "hộp đen" sẽ không hoạt động. Để trả lời câu hỏi của bạn một cách thực chất hơn, chúng ta sẽ cần biết chi tiết về hệ thống cụ thể này (vật lý, sự rời rạc, chế độ tham số).

Đề nghị thực tế của tôi là bắt đầu với người giải quyết trực tiếp và đi sâu vào người giải quyết lặp chỉ khi cần thiết. Bạn có thể dành một sự nghiệp để phát triển các bộ giải lặp mạnh mẽ cho một vấn đề khó khăn đặc biệt.

— Jed Brown
nguồn

3

Một ma trận chiếm ưu thế theo đường chéo được đảm bảo có tất cả các giá trị dương (nếu các mục của đường chéo đều dương) hoặc tất cả các giá trị âm (nếu các mục đều là âm), theo định lý Gershgorin. Hầu hết các phương pháp lặp chỉ hoạt động nếu giá trị riêng của ma trận lặp nằm trong một vùng cụ thể của mặt phẳng phức, do đó, sự thống trị đường chéo đảm bảo rằng tất cả các giá trị riêng đều có phần thực dương hoặc cực kỳ âm (hoặc tất cả các giá trị riêng nằm trong một bán kính riêng của một số số).

$A(\omega)$

— Dân
nguồn

2

Làm thế nào lớn / thưa thớt là hệ thống của bạn? Bạn có thực sự cần phải giải quyết điều này lặp đi lặp lại?

Tôi sẽ đề nghị cố gắng giải quyết nó trong Matlab hoặc Octave bằng cách sử dụng bộ giải thưa thớt (chỉ khởi tạo ma trận bằng cách sử dụng "thưa thớt" và sau đó sử dụng dấu gạch chéo ngược). Nếu điều đó phù hợp với bạn, thì hãy sử dụng UMFPACK trực tiếp, đó là những gì Matlab và Octave sử dụng nội bộ cho các giải pháp thưa thớt.

— Pedro
nguồn

10^{5}

$10^5$

10^{6}

$10^6$

1

10^{6}

$10^6$

Do đó, tôi đề nghị dùng thử trong Matlab hoặc Octave trước - bạn sẽ thấy người giải có thể xử lý nó hiệu quả hay không. Hiệu quả phụ thuộc rất nhiều vào cấu trúc của vấn đề nên sẽ không thể đưa ra bất kỳ khuyến nghị xác định nào.

— Pedro