Tương đương DFT và phép nhân / tích chập

7

Có một lời giải thích đơn giản hoặc có khả năng trực quan cho, với DFT, phép nhân vectơ trong một miền tương đương với tích chập tuần hoàn của các biến đổi của các vectơ trong miền khác?

Vì một DFT chỉ là phép nhân với một ma trận vuông (đặc biệt), vậy còn ma trận và ma trận này nhân cho phép tính đối ngẫu ở trên thì sao?

fft fourier-transform dft

— hotpaw2
nguồn

5

Như bạn nói chính xác, DFT có thể được biểu diễn bằng phép nhân ma trận, cụ thể là ma trận Fourier $\mathbf{F}$ . Mặt khác, DFT "biến đổi" một phép chập theo chu kỳ trong phép nhân (vì tất cả các biến thể biến đổi Fourier như DFT, DTFT, FT đều có tính chất tương tự là biến đổi tích chập thành phép nhân) và ngược lại.

Để hiểu điều này trong hình ảnh ma trận, lưu ý rằng tích chập (tròn) với một chuỗi nhất định có thể được biểu diễn bằng phép nhân ma trận. Cụ thể hơn, đây là một ma trận tuần hoàn, một loại ma trận Toeplitz đặc biệt.

vì thế $\mathbf{y} = \mathbf{c} * \mathbf{x}$ với $*$ tích chập có thể được viết là $\mathbf{y} = \mathbf{C}(\mathbf{c}) \mathbf{x}$ với $\mathbf{C}$ biểu thị ma trận tuần hoàn được hình thành từ các mục của vectơ $\mathbf{c}$ .

Nếu chúng ta "biến đổi" phương trình này với DFT (tức là nhân với $\mathbf{F}$ ) chúng tôi đạt được

$\widehat{\mathbf{y}} = \mathbf{F} \, \mathbf{C}(\mathbf{c}) \,\mathbf{F}^H\, \widehat{\mathbf{x}}$

với $\widehat{\mathbf{y}} =\mathbf{F}\mathbf{y}$ và $\widehat{\mathbf{x}} =\mathbf{F}\mathbf{x}$ các DFT tương ứng (lưu ý $\mathbf{F}^H$ đại diện cho IDFT).

Vấn đề là bây giờ $\mathbf{F} \mathbf{C}(\mathbf{c}) \,\mathbf{F}^H$ luôn luôn là một ma trận đường chéo, bởi vì tất cả các ma trận tuần hoàn được chéo bởi ma trận Fourier. Điều này có nghĩa là các hàm riêng của ma trận tuần hoàn chỉ được đưa ra bởi các hàng của ma trận Fourier.

Điều này tất nhiên phù hợp với hình ảnh tích chập, bởi vì DFT biến đổi tích chập thành phép nhân trên toàn phần tử. Ngoài ra, các phần tử đường chéo của ma trận này chỉ là DFT của $\mathbf{c}$ hoặc, eqivalently, các giá trị riêng của ma trận tuần hoàn được hình thành từ $\mathbf{c}$ .

— Andreas H.
nguồn

Chắc chắn, tôi chỉ chèn ma trận danh tính giữa

C (c)

$C(c)$ và

x

$x$ . Lưu ý rằng

F^{H} F = I

$F^H F = I$ . Điều này là để trong phương trình cũng biến đổi Fourier của

x

$x$ xuất hiện.

F^{H} F = I

$F^H F = I$ là bởi vì ma trận Fourier là một ma trận đơn vị, giống như DFT là một biến đổi đơn nhất.

— Andreas H.

Bên tay trái của x. Bắt đầu với

y = C (c) x

$y = C(c)x$ , nhân với

F

$F$ từ trái:

\hat{y} = F C (c) x

$\widehat{y} = F C(c) x$ sau đó chèn

I = F^{H} F

$I = F^H F$ và lấy

\hat{y} = F C (c) F^{H} F x

$\widehat{y} = F C(c) F^H F x$ đó là

\hat{y} = F C (c) F^{H} \hat{x}

$\widehat{y} = F C(c) F^H \widehat{x}$

— Andreas H.

Không,

F C F^{H}

$FCF^H$ là kết quả từ sự phát sinh,

F^{H} C F

$F^H C F$ sẽ không chính xác.

— Andreas H.

2

Ngẫu nhiên, DFT là phép biến đổi tuyến tính sinh học duy nhất trao đổi tích chập và phép nhân theo thời gian (rõ ràng là hoán vị các hệ số). Điều này không khó để chứng minh, nhưng tôi không tìm thấy tài liệu tham khảo nào về kết quả này trước khi tôi đánh vần nó trong Music Through Fourier Space , Thm. 1.11 (Mùa xuân 2016). Nó phức tạp hơn trong trường hợp liên tục vì người ta phải chọn tốt các không gian chức năng liên quan.

Có lẽ sự đối ứng này cũng có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các ma trận tuần hoàn và đường chéo đồng thời.

— E. Amiot
nguồn