Những lợi thế, nếu có, của lấy mẫu phái sinh là gì?

Trong Năm truyện ngắn về loạt hồng y , tác giả đưa ra nhận xét sau:$[1]$

Thật thú vị, Shannon tiếp tục đề cập rằng các bộ dữ liệu khác cũng có thể được sử dụng để xác định tín hiệu giới hạn băng tần - ví dụ: các giá trị của và đạo hàm đầu tiên của nó tại mọi điểm mẫu khác, các giá trị của và đầu tiên của nó và các dẫn xuất thứ hai tại mỗi điểm mẫu thứ ba, v.v.

Bài viết đề cập đến một số phát triển lịch sử, nhưng tôi tò mò "ứng dụng sát thủ" là gì để lấy mẫu phái sinh. Nó đi bằng tên nào khác? Có những khái quát hơn nữa của phương pháp này?

Một tổng quan đơn giản, hoặc con trỏ đến một số tài liệu tham khảo sẽ là tuyệt vời.

-

1. JR Higgins, Năm truyện ngắn về loạt hồng y , Bull. Amer. Môn Toán. Sóc. (NS) 12 (1985), số 1, 45-89. http://bit.ly/plioNg

Papoulis đã giới thiệu một khái quát của định lý lấy mẫu [1], trong đó phương pháp lấy mẫu phái sinh là một trường hợp. Ý chính của định lý, trích dẫn từ [2] là:

Năm 1977, Papoulis giới thiệu một phần mở rộng mạnh mẽ của lý thuyết lấy mẫu của Shannon, cho thấy một tín hiệu băng hạn chế có thể được tái tạo chính xác từ các mẫu của các phản ứng của tuyến tính hệ thống shift-bất biến lấy mẫu tại tỷ lệ tái thiết.1 /$m$$1/m$

Có lẽ một lý do tại sao thật khó để tìm kiếm thuật ngữ này là bởi vì định lý lấy mẫu tổng quát của Papoulis được đề cập thường xuyên hơn là "lấy mẫu phái sinh". [2] cũng là một bài viết rất hay trong đó trình bày tổng quan rộng rãi về các phương pháp lấy mẫu tại thời điểm xuất bản. [3], cũng bởi cùng một tác giả là một phần mở rộng của [1] cho lớp các hàm không giới hạn.

Đối với các ứng dụng, trong một bài báo gần đây [4], phương pháp lấy mẫu đạo hàm được sử dụng để thiết kế các bộ lọc trễ phân đoạn băng rộng và các tác giả cho thấy việc lấy mẫu các kết quả phái sinh trong các lỗi nhỏ hơn. Từ tóm tắt:

Trong bài báo này, thiết kế bộ lọc độ trễ phân đoạn băng rộng được nghiên cứu. Đầu tiên, công thức tái cấu trúc của phương pháp lấy mẫu phái sinh được áp dụng để thiết kế bộ lọc độ trễ phân đoạn băng rộng bằng cách sử dụng phương pháp thay thế chỉ mục và phương pháp cửa sổ. ... Cuối cùng, các ví dụ bằng số được chứng minh cho thấy phương pháp được đề xuất có lỗi thiết kế nhỏ hơn bộ lọc trễ phân đoạn thông thường mà không lấy mẫu đạo hàm của tín hiệu.

Mặc dù chắc chắn có nhiều hơn, tôi sẽ không đăng thêm tài liệu tham khảo và ứng dụng để giữ cho nó ngắn gọn (và tránh để nó biến thành một danh sách). Một điểm tốt để bắt đầu tìm kiếm là kiểm tra những bài báo nào đã trích dẫn [1] - [3] và thu hẹp danh sách dựa trên bản tóm tắt.

[1]: A. Papoulis, Mở rộng lấy mẫu tổng quát, Trực tiếp IEEE Trans. Mạch và hệ thống , tập. 24, không. 11, trang 652-654, 1977.

[2]: M. Unser, "Lấy mẫu - 50 năm sau Shannon," Kỷ yếu của IEEE , tập. 88, số 4, tr. 569-587, 2000

[3]: M. Unser và J. Zerubia, "Một lý thuyết lấy mẫu tổng quát mà không có ràng buộc giới hạn băng tần," IEEE Trans. Mạch và hệ thống II , tập. 45, số 8, tr. 959 bóng969, 1998

[4]: CC Tseng và SL Lee, "Thiết kế bộ lọc độ trễ phân đoạn băng rộng bằng phương pháp lấy mẫu phái sinh", IEEE Trans. Mạch và hệ thống I , tập. 57, số 8, tr. 2087-2098, 2010

Tôi không biết về bất kỳ ứng dụng nào của sơ đồ lấy mẫu như vậy. Thông thường, việc lấy mẫu chính xác tín hiệu của tín hiệu khó hơn so với giá trị tức thời của nó (các yếu tố khác biệt dễ bị nhiễu tần số cao do đáp ứng tần số hình dốc của chúng). Như endolith đã chỉ ra trong nhận xét ở trên, nếu bạn có đủ thông tin trong các mẫu riêng biệt để tái tạo tín hiệu ban đầu, thì bạn có thể tính toán tất cả các dẫn xuất mà bạn muốn.

Đó là một bài viết rất hay mà bạn đã liên kết đến (tôi chưa đọc nó trước đây) và trên thực tế, câu trả lời mà bạn tìm kiếm nằm trong chính bài viết đó trong §2.3! Tôi đã sao chép dưới một phần của §2.3 có liên quan.

2.3 Lấy mẫu đạo hàm

Để minh họa một tình huống lấy mẫu thực tế, J. Fogel (1955) đã đề cập đến ví dụ về bảng điều khiển của một phi công máy bay, theo truyền thống bao gồm các mặt số với các con trỏ cung cấp thông tin về độ cao, thái độ, tốc độ của máy bay, v.v. , có được thông tin từ bất kỳ một trong số họ trên cơ sở định kỳ. Có thể là thông tin phái sinh cũng có thể có sẵn cho phi công; ví dụ, máy đo độ cao sẽ được chú ý là "tháo gỡ" với tốc độ đáng báo động nếu máy bay đang lặn trong mũi! Cũng có thể hình dung rằng gia tốc của con trỏ cũng có thể được quan sát;$r$$f$$[-\pi W,\pi W]$$f'$

$$f(t)=\sum\left\{f\left(\frac{2\pi}{W}\right)+\left(t-\frac{2\pi}{W}\right)f'\left(\frac{2\pi}{W}\right)\right\}\left\{\frac{\sin \pi(Wt-2n)/2}{\pi(Wt-2n)/2}\right\}^2$$

Tôi tin rằng đây vẫn là một ứng dụng rất hợp lệ của lấy mẫu phái sinh, vì các máy bay đã không còn hợp thời. Có thể có một số tiến bộ công nghệ khác (mà tôi không biết) có thể khiến việc sử dụng lấy mẫu phái sinh không cần thiết trong những ngày này, nhưng vấn đề vẫn còn.

LJ Fogel (1955), Một lưu ý về định lý lấy mẫu , IRE Trans. Thông báo. Lý thuyết 1 , 47 Vang48

DL Jagerman và LJ Fogel (1956), Một số khía cạnh chung của định lý lấy mẫu , IEEE Trans. Thông báo. Lý thuyết 2 , 139