Là lý tưởng LPF BIBO không ổn định?

8

Trong một trong những cuộc thảo luận khác: Làm thế nào để tìm đáp ứng tần số, tính ổn định và tính nhân quả của hệ thống tuyến tính?

Tôi tìm thấy một bình luận khá mạnh mẽ và chắc chắn đã thu hút sự chú ý của tôi.

Bộ lọc thông thấp lý tưởng là một ví dụ về hệ thống không ổn định BIBO mặc dù đáp ứng tần số của nó bị giới hạn cho tất cả $f$

Tôi đang theo định nghĩa về sự ổn định theo ở đây trong wiki http://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability

Bất cứ ai có thể cho tôi một bằng chứng rằng LPF lý tưởng thực sự có thể là BIBO không ổn định?

Tất nhiên, LPF lý tưởng với mức tăng vô hạn có thể tạo ra đầu ra không giới hạn. Câu hỏi được giới hạn ở LPF khi mức tăng là hữu hạn.

filters linear-systems

— Mehan
nguồn

1

Một lý tưởng LPF có đáp ứng xung có dạng mà không đáp ứng các điều kiện cần thiết cho sự ổn định của BIBO. Do đó, phản hồi tại đối với tín hiệu giới hạn (chuyển đổi qua lại giữa và ) là và vì vậy LPF lý tưởng không phải là hệ thống ổn định BIBO.

h (t) = sinc (t)

$h(t) =\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt < \infty$

t = 0

$t=0$

x (t) = sgn (sinc (t))

$x(t) = \text{sgn}(\text{sinc}(t))$

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

\int h (- t) x (t) d t = \int h (t) x (t) d t = \int | h (t) | d t = \infty

$\int h(-t)x(t)dt = \int h(t)x(t)dt = \int |h(t)|dt = \infty$

— Dilip Sarwate

7

Câu trả lời này là phản hồi cho nhận xét của OP về câu trả lời của yoda.

Giả sử , đáp ứng xung của hệ thống bất biến thời gian tuyến tính thời gian liên tục, có thuộc tính đối với một số số hữu hạn . Sau đó, với mỗi và mọi đầu vào giới hạn , đầu ra cũng bị chặn. Nếu cho tất cả trong đó là một số hữu hạn, sau đó cho tất cả trong đó cũng là một số hữu hạn. Bằng chứng là đơn giản. $h(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = M

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt = M$

M

$M$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

| x (t) | \leq \hat{M}

$|x(t)| \leq \hat{M}$

t

$t$

\hat{M}

$\hat{M}$

| y (t) | \leq \hat{M} M

$|y(t)| \leq \hat{M}M$

t

$t$

\hat{M} M

$\hat{M}M$

\begin{aligned} | y (t) | & = | \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ | \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) x (t - τ) | d τ \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | \cdot | x (t - τ) | d τ \\ \leq \hat{M} \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | d τ \\ = \hat{M} M . \end{aligned}

$\begin{align*} |y(t)| &= \left |\int_{-\infty}^\infty h(\tau)x(t - \tau)\mathrm d\tau\right |\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\cdot|x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \hat{M}\int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \hat{M}M. \end{align*}$ Nói cách khác, bị chặn bất cứ khi nào bị chặn.

y (t)

$y(t)$

x (t)

$x(t)$

Do đó, điều kiện là đủ cho tính ổn định của BIBO. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

Điều kiện cũng cần thiết cho sự ổn định của BIBO. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

Giả sử rằng mọi đầu vào giới hạn đều tạo ra đầu ra giới hạn. Bây giờ hãy xem xét đầu vào . Điều này được giới hạn rõ ràng, ( cho tất cả ) và tại , nó tạo ra đầu ra Giả định của chúng tôi rằng hệ thống ổn định BIBO có nghĩa là nhất thiết phải là hữu hạn, nghĩa là, $x(t) = \text{sgn}(h(-t)) ~\forall~ t$ $|x(t)| \leq 1$ $t$ $t=0$

\begin{aligned} y (0) & = \int_{- \infty}^{\infty} h (0 - τ) x (- τ) d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} h (- τ) sgn (h (- τ)) d τ & = \int_{- \infty}^{\infty} | h (- τ) | d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t . \end{aligned}

$\begin{align*} y(0) &= \int_{-\infty}^\infty h(0-\tau)x(-\tau)\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty h(-\tau)\text{sgn}(h(-\tau))\mathrm d\tau &= \int_{-\infty}^\infty |h(-\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty |h(t)|\mathrm dt. \end{align*}$

y (0)

$y(0)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

Bằng chứng cho các hệ thống thời gian rời rạc tương tự với sự thay đổi rõ ràng rằng tất cả các tích phân được thay thế bằng tổng.

LPF lý tưởng không phải là hệ thống ổn định BIBO vì đáp ứng xung không hoàn toàn có thể tích hợp, như đã nêu trong câu trả lời của yoda. Nhưng câu trả lời của anh ấy không thực sự trả lời câu hỏi

Bất cứ ai có thể cho tôi một bằng chứng rằng LPF lý tưởng thực sự có thể là BIBO không ổn định?

Một ví dụ cụ thể về tín hiệu đầu vào bị chặn tạo ra đầu ra không giới hạn từ LPF lý tưởng (và do đó chứng minh rằng hệ thống không ổn định BIBO) có thể được xây dựng như đã nêu ở trên (xem thêm nhận xét của tôi về câu hỏi chính).

— Dilip Sarwate
nguồn

5

Một điều kiện cần thiết cho sự ổn định của BIBO là sự tồn tại của định mức (hoặc cho các hệ thống rời rạc) của đáp ứng xung. Từ bài viết wiki bạn đã trích dẫn, $L^1$ $\ell^1$

Đối với hệ thống bất biến thời gian tuyến tính thời gian liên tục (LTI), điều kiện để ổn định BIBO là đáp ứng xung hoàn toàn có thể tích hợp, tức là tồn tại định mức L1 của nó.

$\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = ‖ h (t) ‖_{1} < \infty$ $\int_{-\infty}^\infty |h(t)|\ dt=\Vert h(t)\Vert_1<\infty$

Đáp ứng xung của LPF lý tưởng là hàm , chỉ có định mức và không có định mức . Nói cách khác, là không hoàn toàn summable hoặc $\text{sinc}$ $L^2$ $L^1$ $\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | sinc (t) | d t = \infty

$\int_{-\infty}^\infty |\text{sinc}(t)|\ dt=\infty$

Do đó, LPF lý tưởng không ổn định BIBO mặc dù đáp ứng tần số của nó bị giới hạn cho tất cả . $f$

— Lorem
nguồn

Từ những gì tôi nghĩ rằng đáp ứng xung là hoàn toàn có thể so sánh được, tức là, chỉ tiêu L1 của nó tồn tại. là một điều kiện đủ để một hệ thống ổn định BIBO. Tuy nhiên, đây có phải là một điều kiện cần thiết phải giữ?

— Dipan Mehta

-2

Biến đổi phạm vi của lpf lý tưởng là hàm chân trong miền thời gian tồn tại từ -infinite đến + vô hạn nên nó không khác thường và diện tích bên trong nó là vô hạn nên không bị ràng buộc. ..

— pankaj kumar singh
nguồn

1

Chào mừng đến với DSP.SE! Cảm ơn câu trả lời của bạn, nhưng tôi không nghĩ rằng nó bổ sung bất cứ điều gì vào câu trả lời hiện có. Hơn nữa, không phải là khu vực dưới chức năng chân không bị ràng buộc, đó là khu vực dưới độ lớn của chức năng chân không bị ràng buộc. Cái sau gây ra sự mất ổn định của hệ thống.

— Matt L.