Hạt nhân Gaussian rời rạc có phải là một hàm riêng của DFT không?

Vì vậy, hàm Gaussian là một hàm riêng của biến đổi Fourier vì nó biến thành chính nó, phải không?

Nhưng điều này không đúng với Gaussian được lấy mẫu trong DFT vì các đuôi của hàm bị cắt ngắn, phải không?

Wikipedia mô tả một hạt nhân Gaussian rời rạc ở đây và đây , khác với hạt nhân Gaussian được lấy mẫu rời rạc :

đối tác rời rạc của Gaussian liên tục ở chỗ nó là giải pháp cho phương trình khuếch tán rời rạc (không gian rời rạc, thời gian liên tục), giống như Gaussian liên tục là giải pháp cho phương trình khuếch tán liên tục

Điều đó có nghĩa là DFT cũng biến đổi chính xác thành chính nó? Nếu không, có một chức năng tương tự Gaussian nào không?

— nội tâm
nguồn

Vì DFT có thể biểu diễn bằng cách nhân với ma trận Fourier, nên câu hỏi của bạn tương đương với việc hỏi các hàm riêng của ma trận Fourier là gì.

Trên thực tế, Wikipedia cung cấp câu trả lời ( http://en.wikipedia.org/wiki/Discittle_Fourier_transform#Eigenvalues_and_eigenvector ).

Tuy nhiên, vì giá trị riêng ( $1, -1, i, -i$ ) không đơn giản, các hàm riêng không phải là duy nhất (tức là các tổ hợp tuyến tính cũng là các hàm riêng). Cũng không có công thức đóng đơn giản tồn tại.

Một công thức cho một eigenvector gần với những gì bạn yêu cầu được cung cấp bởi Wikipedia

F_{m} = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \exp (- \frac{π \cdot (m + N \cdot k)^{2}}{N}) m = 0, \dots, N - 1

$F_m = \sum_{k = -\infty}^\infty \exp\left(-\frac{\pi\cdot(m+N\cdot k)^2}{N}\right) \quad\quad\quad m = 0,\ldots,N-1$

Vì vậy, kết luận, chính hàm Gaussian không phải là một hàm riêng, mà là một tổng số vô hạn của Gaussian. Tổng vô hạn có thể được hiểu là tương đương với sự rời rạc của miền tần số và thời gian khi chúng ta đi từ FT đến DFT. Vì vậy, nó không đơn giản, như chỉ cắt bớt Gaussian rời rạc.

— Andreas H.
nguồn

Không phải là một tổng số vô hạn của gaussian vẫn là một gaussian?

— TheGrapeBeyond

Không, tích chập của Gaussian vẫn là một Gaussian. Tổng chỉ là Gaussian nếu chúng có cùng vị trí và chiều rộng. Hàm này ở đây thực sự là một giai đoạn của chuỗi xung Gauss rời rạc. Vì vậy, nó thậm chí không giống như một Gaussian.

— Andreas H.

Ah tôi thấy. Nói cách khác, tổng này thực chất là một đoàn tàu Gaussian được tạo thành từ các Gaussian có cùng phương sai nhưng phương tiện khác nhau?

— TheGrapeBeyond

chính xác. Các phương tiện được đặt cách nhau chính xác bằng N, chiều dài của DFT.

— Andreas H.

Ah, hấp dẫn. Một điều cuối cùng, đây là một vectơ có độ dài vô hạn, có nghĩa là ma trận DFT cũng có chiều dài vô hạn, phải không?

— TheGrapeBeyond