Câu hỏi về ma trận hiệp phương sai của 2 tín hiệu không gian

Mỗi khi tôi nghĩ rằng tôi đã hiểu được ma trận hiệp phương sai, một người khác sẽ đưa ra một công thức khác nhau.

Tôi hiện đang đọc bài viết này:

J. Benesty, "Thuật toán phân rã eigenvalue thích ứng cho nội địa hóa nguồn âm thụ động" , J. Acoust. Sóc. Là. Tập 107 , Số 1, trang 384-391 (2000)

và tôi đã bắt gặp một công thức mà tôi không hiểu lắm. Ở đây, tác giả đang xây dựng ma trận hiệp phương sai giữa hai tín hiệu và x 2 . Hai tín hiệu đó là từ các cảm biến khác nhau.$x_1$$x_2$

Đối với ma trận hiệp phương sai của một tín hiệu, tôi biết rằng chúng ta có thể lấy được nó bằng cách tính ma trận hồi quy, sau đó nhân nó với Hermiti của cùng một ma trận và chia cho , độ dài của vectơ gốc. Kích thước của ma trận hiệp phương sai ở đây có thể tùy ý, với kích thước tối đa là N × N .$N$$N\times N$

Đối với ma trận hiệp phương sai của hai tín hiệu không gian, nếu chúng ta đặt tín hiệu đầu tiên ở hàng đầu tiên và tín hiệu thứ hai ở hàng thứ hai của ma trận, sau đó nhân với Hermiti của nó và cũng chia cho , thì chúng ta có được 2 × 2 ma trận hiệp phương sai của cả hai tín hiệu không gian.$N$$2\times 2$

Tuy nhiên, trong bài báo này, tác giả tính toán những gì trông giống như bốn ma trận, và R $R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$ , và sau đó đặt chúng vào một siêu ma trận và gọi đó là ma trận hiệp phương sai.$R_2{}_2$

Tại sao cái này rất? Đây là một hình ảnh của văn bản:

$x_1[n]$$x_2[n]$$N$

1. $\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$$2\times 2$

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ $x_1[n]$$\sigma_1^2 = R_{1,1}$$R_{2,2} = \sigma_2^2$$x_2[n]$$R_{1.2}=R_{2,1} = C$$n$$n-1$$n+1$

2. $x_1[n]$$x_1[m]$$x_1[n]$$x_2[m]$$2N$$2N \times 2N$$R_{\text{full}} = E[XX^T]$

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$$(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$$i \neq j$$i = j$$n = m$ $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ $I$$N\times N$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$2\times 2$$R_{2\times 2}$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$R_{\text{full}}$$R_{\text{simple}}$$R_{2\times 2}$