Khi nào nên sử dụng DTFT so với DFT (và nghịch đảo của chúng) trong phân tích?

Trong nhiều bài đọc của tôi, bất cứ khi nào một số tác giả nói về việc làm việc trong miền tần số (biến đổi) (của tín hiệu số), họ thường lấy DFT hoặc DTFT (và dĩ nhiên là nghịch đảo tương ứng của chúng). Các tác giả khác nhau sẽ có xu hướng làm việc với cái này hay cái khác.

Tôi đã không thể thực sự xác định được một mô hình cụ thể liên quan đến điều này. Trong đó, tại sao bạn lại chọn DTFT qua DFT hoặc ngược lại trong việc giải thích các thuật toán? Trường hợp nào giúp bạn hơn người khác?

DFT và DTFT rõ ràng là tương tự nhau vì cả hai đều tạo ra phổ nhiễu của tín hiệu rời rạc theo thời gian. Tuy nhiên, trong khi DTFT được xác định để xử lý tín hiệu dài vô hạn (tổng từ vô cực đến vô cực), DFT được xác định để xử lý tín hiệu định kỳ (phần định kỳ có độ dài hữu hạn).

Chúng tôi biết rằng số lượng tần số trong phổ của bạn luôn bằng số lượng mẫu được xử lý, do đó, điều này cũng tạo ra sự khác biệt về phổ mà chúng tạo ra: phổ DFT rời rạc trong khi phổ DTFT liên tục (nhưng cả hai đều theo chu kỳ liên quan đến tần số Nyquist).

Vì không thể xử lý số lượng mẫu vô hạn, DTFT ít quan trọng hơn đối với xử lý tính toán thực tế; nó chủ yếu tồn tại cho mục đích phân tích.

Tuy nhiên, DFT, với chiều dài vectơ đầu vào hữu hạn, hoàn toàn phù hợp để xử lý. Thực tế là tín hiệu đầu vào được coi là một đoạn trích của tín hiệu định kỳ tuy nhiên hầu như không được quan tâm: Khi bạn chuyển đổi phổ DFT trở lại miền thời gian, bạn sẽ nhận được tín hiệu tương tự như bạn đã tính phổ trong nơi đầu tiên

Vì vậy, trong khi việc tính toán không quan trọng, bạn nên lưu ý rằng những gì bạn đang thấy ở đó không phải là phổ thực tế của tín hiệu của bạn . Đó là phổ của tín hiệu lý thuyết mà bạn sẽ nhận được nếu bạn định kỳ lặp lại vectơ đầu vào.

Vì vậy, tôi cho rằng trong tài liệu mà bạn đang đề cập, mỗi khi điều quan trọng là phổ bạn làm việc thực sự là phổ và không quan tâm đến khía cạnh tính toán của sự vật, tác giả sẽ chọn DTFT.

DTFT được sử dụng khi toán học để chứng minh một số điểm dễ dàng hơn (tiết kiệm trên giấy và / hoặc phấn) khi giả sử số lượng mẫu vô hạn. Có nghĩa là nó thực sự vô dụng trong thế giới thực (bạn sẽ chết rất lâu trước khi bạn thấy bạn có đủ mẫu).

DFT là khi bạn chọn một số lượng mẫu hữu hạn hữu ích để làm việc (cung cấp cho bạn một ma trận vuông có kích thước hữu hạn nhân chính xác tương đương), cho dù chúng có định kỳ hay không (giả sử tính chu kỳ của chiều dài khung là một ảo tưởng khác trong suy nghĩ của một số người để một lần nữa làm cho toán dễ dàng hơn). Do đó, sử dụng DFT thường ngụ ý một cửa sổ (hình chữ nhật, nếu không phải cái gì khác) không cần thiết trong DTFT. Cửa sổ này đi kèm với các tạo tác đôi khi khó chịu, cũng như mất thông tin rõ ràng về tín hiệu bên ngoài cửa sổ, đó là nhược điểm của DFT.

$-\infty$$+\infty$