Ước tính các hệ số chuỗi Taylor từ các mẫu của hàm

10

Giả sử tôi có các số đo của hàm , được lấy mẫu tại với một số nhiễu, có thể được xấp xỉ bằng cách mở rộng chuỗi Taylor. Có cách nào được chấp nhận để ước tính các hệ số cho sự mở rộng đó từ các phép đo của tôi không? $y = y(x)$ $x_i$

Tôi có thể điều chỉnh dữ liệu cho một đa thức, nhưng điều đó không hoàn toàn đúng, bởi vì đối với một chuỗi Taylor, phép tính gần đúng sẽ càng tốt hơn khi bạn đến gần một điểm trung tâm, giả sử x = 0. Chỉ cần khớp một đa thức xử lý mọi điểm bằng nhau.

Tôi cũng có thể ước tính các đơn đặt hàng phái sinh khác nhau tại điểm mở rộng của mình, nhưng sau đó tôi cần đưa ra quyết định về việc sử dụng bộ lọc khác biệt nào và bao nhiêu hệ số bộ lọc cho mỗi bộ lọc. Các bộ lọc cho các dẫn xuất khác nhau cần phải khớp với nhau bằng cách nào đó?

Vì vậy, có ai biết phương pháp thành lập cho điều này? Giải thích hoặc tài liệu tham khảo cho các giấy tờ sẽ được đánh giá cao.

LÀM RÕ

Đáp lại bình luận bên dưới, lấy mẫu của tôi là một cửa sổ hình chữ nhật từ một hàm vô hạn, không nhất thiết phải giới hạn băng tần nhưng không có các thành phần tần số cao mạnh. Cụ thể hơn, tôi đang đo phương sai của một công cụ ước tính (đo độ dịch chuyển trong tín hiệu siêu âm y tế) là một hàm của một tham số của công cụ ước tính (mức độ biến dạng hoặc biến dạng của mô bên dưới). Tôi có một loạt Taylor lý thuyết cho phương sai là một hàm của biến dạng, và muốn so sánh nó với những gì tôi nhận được từ mô phỏng.

Một ví dụ đồ chơi tương tự có thể là: giả sử bạn có một hàm như ln (x), được lấy mẫu theo các khoảng trong x với một số nhiễu được thêm vào. Bạn không biết chức năng thực sự của nó là gì và bạn muốn ước tính chuỗi Taylor của nó khoảng x = 5. Vì vậy, chức năng trơn tru và thay đổi từ từ cho một khu vực xung quanh điểm bạn quan tâm (giả sử 2 <x <8), nhưng không nhất thiết phải đẹp ngoài khu vực.

Các câu trả lời rất hữu ích, và một số loại phù hợp đa thức bình phương nhỏ nhất có lẽ là con đường cần thực hiện. Tuy nhiên, điều làm cho một chuỗi Taylor ước tính khác với sự phù hợp đa thức thông thường là bạn sẽ có thể loại bỏ các điều khoản bậc cao hơn và đa thức vẫn xấp xỉ hàm ban đầu, chỉ trong phạm vi nhỏ hơn về điểm ban đầu của bạn.

Vì vậy, có lẽ cách tiếp cận sẽ là thực hiện điều chỉnh đa thức tuyến tính chỉ sử dụng dữ liệu gần với điểm ban đầu, tiếp theo là điều chỉnh bậc hai với nhiều dữ liệu hơn, khối sử dụng nhiều hơn một chút, v.v.

noise estimators approximation

— Matt
nguồn

Một số câu hỏi (có thể có hoặc không có liên quan): Bằng cách lấy mẫu, bạn có nghĩa là chức năng bị / bị giới hạn băng tần dưới một số tần số Fs / 2? Các mẫu của bạn là một cửa sổ hình chữ nhật của một hàm vô hạn, hàm lặp lại hay hàm hoàn chỉnh?

— hotpaw2

Giống như Dilip đã chỉ ra trong câu trả lời của mình, sử dụng mở rộng chuỗi Taylor yêu cầu bạn phải có kiến thức về đạo hàm của hàm tại tất cả các điểm mẫu. Tôi cho rằng bạn có thể sử dụng biểu thức lý thuyết của mình cho các đạo hàm của

, nhưng điều đó phần nào làm giảm tiện ích của việc sử dụng một mô phỏng độc lập để xác nhận lý thuyết của bạn. Để mô phỏng tốt nhất chuỗi hành vi Taylor liên quan đến các điều khoản bậc cao hơn, một cách tiếp cận như những gì bạn đề xuất, sử dụng các thứ tự khác nhau của phù hợp đa thức, có thể hữu ích.

y (x)

$y(x)$

— Jason R

8

$(x_i,y_i)$

$y_i$ $y = f(x)$ $x_i$ $i = 0, 1, \ldots , N$ $M \le N$ $M = N$ $N$ $M$ $p_k$

y_{i} = p_{M} x_{i}^{M} + p_{M - 1} x_{i}^{M - 1} + \dots + p_{1} x_{i} + p_{0}, i = 0, 1, \dots, N

$y_i = p_Mx_i^M + p_{M-1}x_i^{M-1} + \ldots + p_1x_i + p_0, \;\;\;\;\;i = 0, 1, \ldots , N$

Vấn đề bình phương nhỏ nhất có thể được giải quyết bằng cách sắp xếp các phép đo thành dạng vectơ ma trận:

A = [\begin{array}{cc} x_{0}^{M} & x_{0}^{M - 1} & \dots & x_{0} & 1 \\ x_{1}^{M} & x_{1}^{M - 1} & \dots & x_{1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{N}^{M} & x_{N}^{M - 1} & \dots & x_{N} & 1 \end{array}], y = [\begin{array}{cc} y_{0} \\ y_{1} \\ ⋮ \\ y_{N} \end{array}]

$\mathbf{A} = \left [ {\begin{array}{cc} x_0^M & x_0^{M-1} & \cdots & x_0 & 1 \\ x_1^M & x_1^{M-1} & \cdots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_N^M & x_N^{M-1} & \cdots & x_N & 1 \end{array} } \right ], \;\;\mathbf{y}= \left [ {\begin{array}{cc} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_N \end{array} } \right ]$

$\left[p_M, p_{M-1}, \ldots , p_0\right]$

\tilde{p} = (A^{T} A)^{- 1} A^{T} y

$\mathbf{\tilde p} = (\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^Ty}$

$(\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^T}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{\tilde p}$ $x$

— Jason R
nguồn

1

Trong trường hợp các abscissas không thể thay thế, điều này không khác với việc áp dụng làm mịn Savitzky-Golay trên dữ liệu của bạn.

Cộng 1 cho câu trả lời hay. LSE thực sự rất phổ biến.

— Tarin Ziyaee

6

Bỏ qua tiếng ồn cho bây giờ.

$n+1$ $(x_i,y_i)$ $x_i$ $f(x)$ $n$ $y=g(x)$ $g(x)$ $e^x$ $(x+a)/(x+b)$ $g(x)$ $g(x)$ $x=0$ $g(0)$ $g^{(k)}(x) = \frac{\mathrm d^kg(x)}{\mathrm dx^k}, k=1,2,\ldots$ $x=0$ $g(x)$ $n+1$ $x_i$ $x_i = 0$ $i$ $g(0)$ $g^{(k)}(0)$ $k=1, 2, \ldots$

$g(x)$ $x=0$ $g(x_i)$ $h(x)=\sum_k h_kx^k$ $g^{(k)}(0)$ $h^{(k)}(0) = k!h_k$

$n+1$ $(x_i,g(x_i))$ $g(x)$ $g(x)$ $n$ $h(x)$ $n+1$

$x_i$ $0$ $x_i$ $m < n$ $x=0$ $0$ $0$ $0$

$3$ $(-1,y_{-1}), (0,y_0), (1,y_1)$

\begin{aligned} f (x) & = y_{- 1} \frac{x (x - 1)}{2} - y_{0} (x^{2} - 1) + y_{1} \frac{x (x + 1)}{2} \\ = y_{0} + \frac{y_{1} - y_{- 1}}{2} x + \frac{y_{1} - 2 y_{0} + y_{- 1}}{2} x^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} f(x) &= y_{-1}\frac{x(x-1)}{2} -y_0(x^2-1) + y_{1}\frac{x(x+1)}{2}\\ &= y_0 + \frac{y_1-y_{-1}}{2}x + \frac{y_1-2y_0 + y_{-1}}{2}x^2 \end{align*}$

x

$x$

x^{2}

$x^2$

g (x)

$g(x)$

g (- 1) = y_{- 1}, g (0) = y_{0}, g (1) = y_{1}

$g(-1) = y_{-1}, g(0) = y_0, g(1)=y_1$

— Dilip Sarwate
nguồn