Có những lựa chọn thay thế cho biến đổi song tuyến?

Khi thiết kế bộ lọc kỹ thuật số dựa trên bộ lọc tương tự, chúng ta thường sử dụng biến đổi song tuyến . Để xấp xỉ hàm truyền rời rạc từ hàm truyền tương tự (liên tục) chúng ta thay thếA ( s $D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

Trong đó là khoảng thời gian lấy mẫu. Ngoài ra, để ước tính hàm truyền liên tục từ hàm truyền rời rạc chúng ta thay thếA a ( s ) D ( z $T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

Có phương pháp thay thế để thực hiện chuyển đổi như vậy? Có xấp xỉ tốt hơn?

Bộ lọc tương tự ổn định nếu các cực nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng s (hình bên trái) và bộ lọc kỹ thuật số ổn định nếu các cực nằm trong vòng tròn đơn vị (hình bên phải). Vì vậy, về mặt toán học, tất cả những gì cần thiết để chuyển đổi từ analog sang kỹ thuật số là ánh xạ (tuân thủ?) Từ nửa không gian sang đĩa đơn vị và trục sang vòng tròn đơn vị . Bất kỳ chuyển đổi nào thực hiện điều này là một ứng cử viên có thể thay thế cho biến đổi song phương.| z | = $\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

Hai trong số các phương thức được biết đến là phương pháp bất biến xung và phương pháp biến đổi Z phù hợp . Về mặt khái niệm, cả hai đều tương tự như lấy mẫu dạng sóng liên tục mà chúng ta quen thuộc. Biểu thị biến đổi Laplace ngược bằng và biến đổi Z là , cả hai phương pháp này đều liên quan đến việc tính toán đáp ứng xung của bộ lọc tương tự như$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

và lấy mẫu tại khoảng thời gian lấy mẫu đủ cao để tránh răng cưa. Hàm truyền của bộ lọc kỹ thuật số sau đó được lấy từ chuỗi được lấy mẫu làT a [ n $a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

Tuy nhiên, có sự khác biệt chính giữa hai.

Phương pháp bất biến xung:

Trong phương pháp này, bạn mở rộng hàm truyền tương tự dưới dạng phân số một phần (không phải trong biến đổi Z phù hợp như Peter đã đề cập ) như

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

trong đó là một số hằng và là các cực. Về mặt toán học, bất kỳ hàm truyền nào có tử số có mức độ nhỏ hơn mẫu số đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số một phần . Chỉ các bộ lọc thông thấp đáp ứng tiêu chí này (thông cao và băng thông / bandstop ít nhất có cùng mức độ) và do đó không thể sử dụng phương pháp bất biến xung để thiết kế các bộ lọc khác.α $C_m$$\alpha_m$

Lý do tại sao nó thất bại cũng khá rõ ràng. Nếu bạn có một đa thức trong tử số có cùng mức độ với mẫu số, bạn sẽ có một số hạng không đổi đứng tự do, khi biến đổi nghịch đảo, sẽ đưa ra hàm delta không thể lấy mẫu.

Nếu bạn thực hiện các biến đổi Laplace ngược và chuyển tiếp Z, bạn sẽ thấy các cực được chuyển đổi thành , có nghĩa là nếu bộ lọc analog của bạn ổn định, bộ lọc kỹ thuật số cũng sẽ ổn định . Do đó nó bảo tồn sự ổn định của bộ lọc.$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

Biến đổi Z phù hợp

Trong phương pháp này, thay vì chia phản hồi xung thành phân số một phần, bạn thực hiện một phép biến đổi đơn giản của cả hai cực và các số không theo cách tương tự (khớp) như và (cũng bảo toàn sự ổn định), cho$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

Bạn có thể dễ dàng thấy giới hạn của cả hai phương pháp này. Bất biến Impulse chỉ có thể áp dụng nếu bộ lọc của bạn ở mức thấp và phương pháp biến đổi z phù hợp được áp dụng cho các bộ lọc bandstop và bandpass (và vượt qua tần số Nyquist). Chúng cũng bị giới hạn trong thực tế bởi tốc độ lấy mẫu (xét cho cùng, bạn chỉ có thể đi đến một điểm nhất định) và chịu tác động của răng cưa.

Biến đổi song tuyến tính cho đến nay là phương pháp được sử dụng phổ biến nhất trong thực tế và hai phương pháp trên khá hơn cho lợi ích học thuật. Về việc chuyển đổi trở lại analog, tôi xin lỗi nhưng tôi không biết và không thể giúp được gì nhiều vì tôi hầu như không bao giờ sử dụng các bộ lọc analog.

Có nhiều cách để thực hiện ánh xạ từ đến . Các cộng đồng kiểm soát có một số điều để nói về nó.$s$$z$

Một số ví dụ:

Biến đổi Z phù hợp

Ở đây, hàm truyền -domain được viết dưới dạng mở rộng một phần:$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

Và việc chuyển đổi từng phần của phần mở rộng một phần được thực hiện trực tiếp bằng cách sử dụng:

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

Quy tắc của Simpson

Một cách giải thích về phép biến đổi song tuyến là nó là một cách biến đổi từ thời gian liên tục sang thời gian rời rạc bằng cách tích hợp gần đúng bằng cách sử dụng Quy tắc hình thang .

Một kỹ thuật chính xác hơn để tích hợp gần đúng sử dụng Quy tắc của Simpson. Nếu phép tính gần đúng này được sử dụng thì ánh xạ kết quả là:

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$