Giải thích trực quan về biến đổi Laplace

Vì vậy, tôi đang nắm bắt được với các biến đổi Fourier. Theo trực giác bây giờ tôi chắc chắn hiểu những gì nó làm và sẽ sớm theo một số lớp về toán học (vì vậy chủ đề thực tế). Nhưng sau đó tôi tiếp tục đọc về biến đổi laplace và ở đó tôi loại mất nó. Thời điểm của một tín hiệu là gì? Tại sao biến đổi fourier là một trường hợp đặc biệt của biến đổi laplace? Làm thế nào tôi có thể nắm bắt được với biến đổi Laplace?

Ive đã xem xét các nguồn này trước khi tôi hỏi câu hỏi này:

"Phản hồi xung" và "đáp ứng tần số" nghĩa là gì?

Làm thế nào để phân biệt giữa các miền tần số khác nhau?

Biên độ và tần số đáp ứng

Tại sao biến đổi Fourier lại quan trọng như vậy?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Nếu bạn có hiểu biết về biến đổi Fourier thì có lẽ bạn đã có một mô hình khái niệm về chuyển đổi tín hiệu thành miền tần số. Biến đổi Laplace cung cấp một biểu diễn miền tần số thay thế của tín hiệu - thường được gọi là "miền S" để phân biệt nó với các biến đổi miền tần số khác (chẳng hạn như biến đổi Z - về cơ bản là tương đương với biến đổi Laplace).

Thời điểm của một tín hiệu là gì?

Vì bạn chắc chắn biết rằng biến đổi Laplace cung cấp cho chúng ta một mô tả về tín hiệu từ các khoảnh khắc của nó, tương tự như cách biến đổi Fourier cung cấp cho chúng ta một mô tả từ pha và biên độ.

Nói rộng ra một khoảnh khắc có thể được xem xét làm thế nào một mẫu phân tách khỏi giá trị trung bình của tín hiệu - khoảnh khắc đầu tiên thực sự là trung bình, lần thứ hai là phương sai v.v ... (chúng được gọi chung là "khoảnh khắc phân phối")

Với hàm F (t) của chúng ta, chúng ta có thể tính đạo hàm thứ n tại t = 0 để đưa ra khoảnh khắc thứ n của chúng ta. Giống như một tín hiệu có thể được mô tả hoàn toàn bằng cách sử dụng pha và biên độ, nó có thể được mô tả hoàn toàn bởi tất cả các dẫn xuất của nó.

Tại sao biến đổi fourier là một trường hợp đặc biệt của biến đổi laplace?

Nếu chúng ta nhìn vào biến đổi laplace song phương:

$s=i\omega$

Có một số lưu ý về mối quan hệ này ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ) nhưng toán học nên khá minh bạch.

Tại sao biến đổi fourier là một trường hợp đặc biệt của biến đổi laplace?

$H(s)=\frac{1}{s+1}$

Nhìn từ bên cạnh, cường độ của biến đổi Laplace này tạo thành một bề mặt, với cực đóng vai trò như một cột lều làm tăng biên độ đến vô cùng tại điểm đó (và một số 0 ở vô cực làm giảm biên độ xuống 0 nguồn gốc bạn nhận được theo bất kỳ hướng nào):

Nếu bây giờ bạn chỉ lấy giá trị của bề mặt dọc theo trục jω, thì đó là biến đổi Fourier. Đó là đường cong màu đỏ trong hình trên, mà bạn có thể thấy tạo thành bộ lọc thông thấp. Nếu bạn di chuyển cực xa khỏi điểm gốc, lều sẽ di chuyển theo cùng hướng và lát cắt dọc theo trục jω sẽ giảm, cả hai đều giảm mức tăng (mà chúng ta bù lại bằng cách thêm mức tăng tổng thể) và tăng tần số cắt. Tôi đã có ý định tạo ra một số hình ảnh động của những thứ như thế này ...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

Mô tả trực quan tốt nhất về biến đổi Laplace tôi từng thấy:

Thoạt nhìn, có vẻ như chiến lược của biến đổi Laplace giống như biến đổi Fourier: tương quan tín hiệu miền thời gian với một tập hợp các hàm cơ sở để phân rã dạng sóng. Không đúng! Mặc dù toán học giống nhau nhiều, nhưng lý do đằng sau hai kỹ thuật này rất khác nhau.

Biến đổi Laplace có thể được xem là thăm dò phản ứng thúc đẩy của hệ thống với các hình sin phân rã theo cấp số nhân khác nhau. Các dạng sóng dò tìm tạo ra sự hủy bỏ được gọi là cực và số không.

$\omega$$s$$s=j\omega$ mà là một phản ứng tần số).

Có một sự tương đồng tốt đẹp cho điều này trong một cuốn sách:

Bây giờ, hãy nghĩ về cách bạn hiểu mối quan hệ giữa độ cao và khoảng cách dọc theo tuyến đường tàu, so với mối quan hệ của người dẫn. Vì bạn đã trực tiếp đo độ cao trên đường đi, bạn có thể tuyên bố đúng rằng bạn biết mọi thứ về mối quan hệ. Để so sánh, nhạc trưởng biết thông tin đầy đủ này, nhưng ở dạng đơn giản và trực quan hơn: vị trí của các ngọn đồi và thung lũng gây ra các vết lõm và bướu dọc theo đường dẫn. Mặc dù mô tả về tín hiệu của bạn có thể bao gồm hàng ngàn phép đo riêng lẻ, mô tả tín hiệu của dây dẫn sẽ chỉ chứa một vài tham số.