Có cách nào để có được đáp ứng xung của một hệ thống rời rạc bằng cách chỉ biết nó đáp ứng với chức năng bước đơn vị riêng biệt?

10

Trong thời gian liên tục là có thể;

u (t) ⟶ system ⟶ y (t) ⟹ δ (t) = \frac{d u (t)}{d t} ⟶ system ⟶ \frac{d y (t)}{d t} = h (t)

$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$

Có áp dụng tương tự cho hệ thống thời gian rời rạc tức là

δ [t] = \frac{d u [t]}{d t} where: {\begin{cases} δ [t] & is the discrete time delta \\ u [t] & is the discrete time unit step function \end{cases}

$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$

Có cách nào để có được đáp ứng xung của một hệ thống rời rạc bằng cách chỉ cần biết phản ứng của bước đơn vị rời rạc?

discrete-signals linear-systems

— người chơi
nguồn

1

Câu hỏi tuyệt vời! Chào mừng đến với DSP.SE. Gắn bó và đóng góp!

— Phonon

7

Một phiên bản đơn giản hơn của câu trả lời của Phonon như sau.

$y$ $y$

\begin{aligned} y [0] & = h [0] \\ y [1] & = h [1] + h [0] \\ y [2] & = h [2] + h [1] + h [0] \\ y [3] & = h [3] + h [2] + h [1] + h [0] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$

\begin{aligned} h [0] & = y [0] \\ h [1] & = y [1] - y [0] \\ h [2] & = y [2] - y [1] \\ ⋮ & = ⋮ \\ h [n] & = y [n] - y [n - 1] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$

— Dilip Sarwate
nguồn

Bạn rõ ràng đã làm điều này lâu hơn tôi có =)

— Phonon

6

$D(\cdot)$ $y[n] = x[n] - x[n-1]$ $d[n]$ $*$

$u[n]$ $\delta[n]$ $u[n]$ $u[n] * d[n] = \delta[n]$

a [n] * b [n] = b [n] * a [n]

$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$

(a [n] * b [n]) * c [n] = a [n] * (b [n] * c [n])

$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$

x [n] = δ [n] * x [n] = u [n] * d [n] * x [n] = d [n] * u [n] * x [n] = d [n] * (u [n] * x [n])

$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$

$x[n]$ $\left(u[n] * x[n]\right)$

— Phonon
nguồn

2

Giả định:

$h(t)$ $s(t)$
$h[n]$ $s[n]$

Nói một cách trực quan, tích hợp trong miền thời gian liên tục tương đương với tổng trong miền thời gian riêng biệt. Tương tự, đạo hàm trong miền thời gian liên tục tương đương với sự khác biệt hữu hạn trong miền rời rạc.

$u$ $\delta$

$u(t) = \int \delta(t)$
$u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

$s$ $h$

$s(t) = \int h(t)$
$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

Bây giờ, nếu bạn cẩn thận nhìn vào phương trình cuối cùng:

s [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [n - k]

$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$

$h[n]$ $s[n]$ $s[n-1]$

h [n] = s [n] - s [n - 1]

$h[n] = s[n] - s[n-1]$

— Nurabha
nguồn