Tại sao chúng ta lại nói rằng bộ đệm không 0 không thực sự làm tăng độ phân giải tần số

Đây là một hình sin có tần số f = 236.4 Hz(dài 10 mili giây; nó có N=441các điểm ở tốc độ lấy mẫu fs=44100Hz) và DFT của nó, không có phần đệm :

Kết luận duy nhất chúng tôi có thể đưa ra bằng cách xem DFT là: "Tần số xấp xỉ 200Hz".

Đây là tín hiệu và DFT của nó, với phần đệm lớn :

Bây giờ chúng ta có thể đưa ra một kết luận chính xác hơn nhiều : "Bằng cách xem xét kỹ mức cực đại của phổ, tôi có thể ước tính tần số 236Hz" (Tôi phóng to và thấy mức tối đa là gần 236).

Câu hỏi của tôi là: tại sao chúng ta nói rằng "zero-padding không làm tăng độ phân giải" ? (Tôi đã thấy câu này rất thường xuyên, sau đó họ nói "nó chỉ thêm nội suy")

=> Với ví dụ của tôi, zero-padding giúp tôi tìm đúng tần số với độ phân giải chính xác hơn!

Nghị quyết có một định nghĩa rất cụ thể trong bối cảnh này. Nó đề cập đến khả năng của bạn để giải quyết hai âm riêng biệt ở tần số gần đó. Bạn đã tăng tốc độ mẫu của ước tính phổ của mình, nhưng bạn chưa có khả năng phân biệt giữa hai âm có thể là, ví dụ, 236 Hz và 237 Hz. Thay vào đó, chúng sẽ "tan chảy" cùng nhau thành một đốm, bất kể bạn áp dụng bao nhiêu phần đệm.

Giải pháp để tăng độ phân giải là quan sát tín hiệu trong khoảng thời gian dài hơn, sau đó sử dụng DFT lớn hơn. Điều này sẽ dẫn đến các thùy chính có chiều rộng tỷ lệ nghịch với kích thước DFT, vì vậy nếu bạn quan sát đủ lâu, bạn thực sự có thể giải quyết các tần số của nhiều âm gần nhau.

-

Để xem điều này diễn ra như thế nào, đây là một biểu đồ FFT phóng to của việc thêm hai tín hiệu: hình sin ban đầu của bạn và một tín hiệu khác nhau về tần số từ 0 đến 100 Hz.

Chỉ đến phần cuối chênh lệch 100Hz của âm mưu (phía bên trái ở đây) mà bạn có thể phân biệt (giải quyết) cả hai.

Mã Scilab để tạo cốt truyện bên dưới.

f = 236.4;
d = 10;
N=441;
fs=44100;
extra_padding = 10000; 

t=[0:1/fs:(d/1000-1/fs)]
ff = [0:(N+extra_padding-1)]*fs/(N+extra_padding);

x = sin(2*%pi*f*t);

XX = [];

for delta_f = [0:100];
    y = sin(2*%pi*(f+delta_f)*t);
    FFTX = abs(fft([x+y zeros(1,extra_padding)]));
    XX = [XX; FFTX];
end

mtlb_axis([0 1300 0 500])

figure(1);
clf
[XXX,YYY] = meshgrid(ff,0:100);
mesh(XXX(1:100,[50:90]),YYY(1:100,[50:90]),XX(1:100,[50:90]))

Thuật ngữ "độ phân giải" có nhiều nghĩa, có thể gây nhầm lẫn cho những người đang cố gắng giao tiếp khi sử dụng hai nghĩa khác nhau.

Theo nghĩa quang học, việc có thể phân giải hai điểm tách biệt rõ ràng gần đó (hoặc hai đỉnh liền kề trong phổ) thay vì một đốm mờ, không đệm sẽ không giúp ích gì. Đây là ý nghĩa rất có thể được sử dụng khi nói rằng không đệm không làm tăng độ phân giải.

Nếu yêu cầu của một người về độ phân giải yêu cầu nhúng (ví dụ giảm tối thiểu 3 dB) giữa các đỉnh phổ, thì độ phân giải sẽ còn thấp hơn khoảng cách giữa các thùng FFT, ví dụ, thậm chí không phải Fs / N, mà là 2X đến 3X, hoặc hơn, tùy thuộc vào cửa sổ được sử dụng. Yêu cầu yếu hơn về độ phân giải có thể chỉ là khoảng cách tần số của các vectơ cơ sở trực giao của DFT, ví dụ Fs / N.

Về mặt vẽ các điểm, vâng, phần đệm bằng 0 sẽ cho bạn nhiều điểm hơn trong cốt truyện, như ở độ phân giải DPI (điểm âm mưu trên mỗi inch). Điều đó có thể làm cho nó dễ dàng hơn để chọn ra extrema bằng nhãn cầu. Tuy nhiên, chúng là những điểm giống nhau mà bạn sẽ có được bằng cách thực hiện phép nội suy cốt truyện chất lượng rất cao (phép nội suy Sinc) mà không có bất kỳ phần đệm nào, vì vậy chúng thực sự không thêm thông tin nào mà không thể tính được nếu không có phần đệm bằng không.

Về mặt theo dõi cao độ, phép nội suy parabol hoặc phép nội suy (nội suy giữa các thùng kết quả FFT) của kết quả FFT không đệm có cửa sổ có thể mang lại cho bạn kết quả tốt như từ biểu đồ FFT không đệm có tính toán dài hơn. Do đó, phần đệm bằng 0 mang lại cho bạn kết quả theo dõi cao độ "tốt hơn" so với phần chọn đỉnh không đệm và không nội suy, nhưng thường kém hiệu quả hơn nhiều so với chỉ sử dụng phép nội suy.

Nếu bạn thêm nhiễu vào ví dụ của mình, nhưng ít hơn một chút so với tín hiệu, bạn sẽ thấy rằng đỉnh không đệm có thể không chính xác như đỉnh đệm khác không. Vì vậy, trong trường hợp tổng quát hơn, bạn có thể không tìm thấy tần số "đúng" với độ chính xác cao hơn trước. Không đệm chỉ nội suy kết quả không chính xác do nhiễu, đó là một lý do khác tại sao nó được cho là không tăng độ phân giải.