Sự khác biệt giữa ergodic và văn phòng phẩm là gì?

Tôi gặp khó khăn trong việc phân biệt giữa hai khái niệm này. Đây là sự hiểu biết của tôi cho đến nay.

Một quy trình đứng yên là một quy trình ngẫu nhiên có các thuộc tính thống kê không thay đổi theo thời gian. Đối với một quá trình đứng yên có ý nghĩa nghiêm ngặt, điều này có nghĩa là phân phối xác suất chung của nó là không đổi; đối với một quá trình đứng yên có nghĩa rộng, điều này có nghĩa là khoảnh khắc thứ 1 và thứ 2 của nó là không đổi.

Một quy trình ergodic là một trong đó các thuộc tính thống kê của nó, như phương sai, có thể được suy ra từ một mẫu đủ dài. Ví dụ, trung bình mẫu hội tụ đến giá trị trung bình thực của tín hiệu, nếu bạn trung bình đủ lâu.

Bây giờ, đối với tôi, một tín hiệu sẽ phải đứng yên, để trở nên linh hoạt.

• Và những loại tín hiệu nào có thể đứng yên, nhưng không phải là ergodic?
• Ví dụ, nếu một tín hiệu có cùng phương sai cho mọi thời gian, làm thế nào phương sai trung bình theo thời gian có thể không hội tụ đến giá trị thực?
• Vậy, sự khác biệt thực sự giữa hai khái niệm này là gì?
• Bạn có thể cho tôi một ví dụ về một quá trình đứng yên mà không phải là ergodic, hay ergodic mà không đứng yên?

$-\infty < t < \infty$$n$$nT$$T$

• $n$$n$$t_1, t_2, \ldots, t_n$$n$$X(t_1), X(t_2), \cdots, X(t_n)$$X(t_1+\tau), X(t_2+\tau), \cdots, X(t_n+\tau)$$\tau$
• $\omega$$X(t)$$\omega$$x(t)$ $x(t)$$\omega$

$x(t)$

$$\bar{x} = \frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$$ $\bar{x}$$\mu = E[X(t)]$$t$ $$\lim_{T\to \infty}\bar{x} = \lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$$ bằng Một quá trình mà sự bình đẳng như vậy được coi là trung bình-ergodic và một quá trình có nghĩa là ergodic nếu chức năng tự động điều của nó có thuộc tính:
$$\mu = E[X(t)] = \int_{-\infty}^\infty uf_X(u) \,\mathrm du.$$ $C_X(\tau)$ $$\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T C_X(\tau) \mathrm d\tau = 0.$$

Vì vậy, không phải tất cả các quá trình đứng yên đều cần có nghĩa là ergodic. Nhưng cũng có những hình thức khác của ergodility. Ví dụ, đối với quy trình autocovariance-ergodic , hàm autocovariance của một đoạn hữu hạn (giả sử của đường dẫn mẫu hội tụ đến hàm của quá trình như . Một tuyên bố về chăn là một quá trình có thể có nghĩa là bất kỳ hình thức nào khác nhau hoặc nó có thể có nghĩa là một hình thức cụ thể; người ta không thể nói,$t\in (-T, T)$$x(t)$$C_X(\tau)$$T\to \infty$

Như một ví dụ về sự khác biệt giữa hai khái niệm, giả sử rằng cho tất cả đang xem xét. Ở đây là một biến ngẫu nhiên. Đây là một quá trình đứng yên: mỗi có cùng phân phối (cụ thể là phân phối của ), cùng nghĩa , cùng phương sai, v.v .; mỗi và có cùng phân phối chung (mặc dù nó bị suy biến), v.v. Nhưng quá trình này không phải là ergodic vì mỗi đường dẫn mẫu là một hằng số . Cụ thể, nếu một thử nghiệm thử nghiệm (như được thực hiện bởi bạn hoặc bởi một thực thể vượt trội) sẽ dẫn đến$X(t) = Y$$t$$Y$$X(t)$$Y$$E[X(t)] = E[Y]$$X(t_1)$$X(t_2)$$Y$ có giá trị , thì đường dẫn mẫu của quá trình ngẫu nhiên tương ứng với kết quả thử nghiệm này có giá trị cho tất cả và giá trị DC của đường dẫn mẫu là , không phải , bất kể bạn quan sát đường dẫn mẫu (khá nhàm chán) trong bao lâu. Trong một vũ trụ song song, thử nghiệm sẽ cho kết quả là và đường dẫn mẫu trong vũ trụ đó sẽ có giá trị cho tất cả . Không dễ để viết các đặc tả toán học để loại trừ các tầm thường như vậy khỏi lớp các quy trình đứng yên, và vì vậy đây là một ví dụ rất nhỏ về một quy trình ngẫu nhiên không cố định.$\alpha$$\alpha$$t$$\alpha$$E[X(t)] = E[Y]$$Y = \beta$$\beta$$t$

Có thể có một quá trình ngẫu nhiên không cố định nhưng là ergodic? Chà, N0 , không phải nếu bằng ergodic, chúng tôi có nghĩa là ergodic theo mọi cách có thể mà người ta có thể nghĩ đến: ví dụ, nếu chúng ta đo phần thời gian trong đó một đoạn dài của đường dẫn mẫu có giá trị nhiều nhất là , đây là một ước tính tốt về , giá trị của (chung) CDF của tại nếu quá trình được xác định là được ergodic đối với các chức năng phân phối. Nhưng , chúng ta có thể có các quy trình ngẫu nhiên$x(t)$$\alpha$$P(X(t) \leq \alpha) = F_X(\alpha)$$F_X$$X(t)$$\alpha$không cố định nhưng dù sao bình -ergodic và autocovariance -ergodic. Ví dụ: hãy xem xét quá trình trong đó có bốn giá trị có khả năng bằng nhau và . Lưu ý rằng mỗi là một biến ngẫu nhiên rời rạc , nói chung, có bốn giá trị có khả năng bằng nhau và , dễ dàng nhận thấy rằng nói chung và$\{X(t)\colon X(t)= \cos (t + \Theta), -\infty < t < \infty\}$$\Theta$$0, \pi/2, \pi$$3\pi/2$$X(t)$$\cos(t), \cos(t+\pi/2)=-\sin(t), \cos(t+\pi) = -\cos(t)$$\cos(t+3\pi/2)=\sin(t)$$X(t)$$X(s)$có các bản phân phối khác nhau, và do đó, quá trình này thậm chí không phải là văn phòng phẩm đầu tiên. Mặt khác, với mọi trong khi Tóm lại, quá trình này có nghĩa là không và hàm tự tương quan (và tự động điều khiển) của nó chỉ phụ thuộc vào chênh lệch thời gian , và vì vậy quá trình này là

$$E[X(t)] = \frac 14\cos(t)+ \frac 14(-\sin(t)) + \frac 14(-\cos(t))+\frac 14 \sin(t) = 0$$ $t$ $$\begin{align} E[X(t)X(s)]&= \left.\left.\frac 14\right[\cos(t)\cos(s) + (-\cos(t))(-\cos(s)) + \sin(t)\sin(s) + (-\sin(t))(-\sin(s))\right]\\ &= \left.\left.\frac 12\right[\cos(t)\cos(s) + \sin(t)\sin(s)\right]\\ &= \frac 12 \cos(t-s). \end{align}$$ $t-s$văn phòng phẩm rộng. Nhưng nó không phải là văn phòng phẩm đầu tiên và vì vậy không thể đứng yên cho các đơn đặt hàng cao hơn. Bây giờ, khi thử nghiệm được thực hiện và giá trị của được biết, chúng ta sẽ nhận được hàm mẫu rõ ràng phải là một trong và có giá trị DC bằng và có chức năng tự tương quan là , giống như , và do đó, quá trình này có nghĩa là ergodic và autocorrelation-ergodic mặc dù nó hoàn toàn không ổn định. Cuối cùng, tôi nhận xét rằng quy trình này không hợp lý đối với chức năng phân phối$\Theta$$\pm \cos(t)$$\pm \sin(t)$$0$$0$$\frac 12 \cos(\tau)$$R_X(\tau)$, đó là, không thể nói là ergodic trong tất cả các khía cạnh.

Chúng ta hãy xem xét một quá trình ngẫu nhiên giả thuyết trong đó các hàm mẫu là các giá trị DC và khác nhau:

X ₁ (t) = hằng số = giá trị trung bình của X ₁ (t)

X ₂ (t) = hằng số = trung bình của X ₂ (t)

Giá trị trung bình tạm thời của và không đổi nhưng không bằng nhau. nếu quy trình của tôi là văn phòng phẩm và bằng nhau và RV (tham khảo câu trả lời của Dilip)$X_1(t)$$X_2(t)$$X(t_1)$$X(t_2)$

Vì vậy, giá trị trung bình của là không đổi.$X(t)$

Giá trị trung bình này chắc chắn không bằng trung bình tạm thời của và (bản thân chúng không bằng nhau). Điều này có thể được gọi là một văn phòng phẩm nhưng không phải là một quá trình ergodic.$X_1(t)$$X_2(t)$

Ngược lại, trong đó là RV là ergodic.$X(t)=Acos(\omega t+\theta)$$\theta$

Tôi hy vọng video này (từ Viện Công nghệ Florida. Với tiêu đề "những gì có ý nghĩa rộng rãi, ý nghĩa nghiêm ngặt, tín hiệu ergodic" của Tiến sĩ Ivica Kostanic trong lớp Lý thuyết Truyền thông của ông) từ 16:55 có thể xóa tan nghi ngờ của bạn

Một quy trình ergodic là một quá trình mà bạn có thể thay thế trung bình ergodic cho trung bình tạm thời.

Giá trị trung bình thực, phương sai, v.v ... được xác định bằng cách tuân theo quy trình theo thời gian và tính trung bình, v.v ... Ví dụ: nếu bạn muốn biết giá trị trung bình của kích thước của tôi, bạn sẽ phải tính trung bình từ khi tôi sinh ra đến khi tôi chết Rõ ràng ví dụ sau không phải là một quá trình đứng yên.

Nghĩa là ergodic sẽ là nếu thay vì theo kích thước của tôi theo thời gian, bạn sẽ đóng băng thời gian và lấy trung bình trên một mẫu của từng người khác nhau. Không có lý do gì để hai phương tiện này giống nhau, vì vậy quá trình kích thước của tôi không phải là ergodic.

Đó là một ví dụ tồi tệ, nhưng nó trở nên quan trọng hơn nếu bạn xem xét trường hợp đơn giản của một chất khí ở trạng thái cân bằng. Chẳng hạn, vận tốc bình phương trung bình được ghi nhận (trung bình theo thời gian), nhưng thường được tính bằng cách lấy giá trị trung bình của đồng phục : giá trị trung bình của vận tốc vuông của tất cả các phân tử khí ngay lập tức .$\bar{V^2}$$\left< V^2 \right>$$t$

Hầu hết các định lý nhiệt động lực học đều yêu cầu sử dụng , nhưng việc tính toán và sử dụng sẽ dễ dàng hơn . Giả thuyết ergodic là giả thuyết cho rằng việc thay thế cái này bằng cái kia là đúng. Một quy trình ergodic là một quá trình mà giả thuyết ergodic là đúng.$\bar{V^2}$$\left< V^2 \right>$

Giả thuyết ergodic là sai trong trường hợp chung.

Đối với một ví dụ về trường hợp ngược lại (nghĩa là một quá trình ngẫu nhiên là ergodic nhưng không đứng yên), hãy xem xét một quá trình nhiễu trắng được biên độ điều biến bởi một sóng vuông xác định. Trung bình thời gian của mọi hàm mẫu bằng 0, cũng như trung bình cộng của tất cả các thời gian. Vì vậy, quá trình này là ergodic. Tuy nhiên, phương sai của bất kỳ hàm mẫu riêng lẻ nào cho thấy sự phụ thuộc sóng vuông ban đầu vào thời gian, do đó quá trình này không ổn định.

Ví dụ cụ thể này là văn phòng phẩm có ý nghĩa rộng, nhưng người ta có thể pha chế các ví dụ liên quan vẫn còn linh hoạt nhưng thậm chí không có ý nghĩa văn phòng phẩm rộng.

như tôi đánh giá thấp, ví dụ dưới đây cho thấy một quá trình ổn định và ổn định

 X1 X2 X3  | mean var ...
 1  2  3   | 2    1
 2  3  1   | 2
 3  1  2   | 2
 ----------

nghĩa là 2 2 2 var 1

bởi vì giá trị trung bình và phương sai của mỗi cột là không đổi theo thời gian và giá trị trung bình và phương sai của mỗi hàng là không đổi theo thời gian