Bộ lọc phù hợp tối ưu mà không cần ISI

Đưa ra một bộ lọc được sử dụng để định hình tín hiệu số, và cho rằng chúng tôi không muốn kết hợp bộ lọc gây ra bất kỳ ISI nào, bộ lọc "khớp" nào, q ( x ) sẽ tối đa hóa SNR?$p(x)$$q(x)$

Các bộ lọc phù hợp được sử dụng trong truyền thông kỹ thuật số để tối đa hóa tỷ lệ tín hiệu / nhiễu. Thông thường, bộ lọc cosin gốc được sử dụng để định hình tín hiệu, vì nó được giới hạn trong không gian tần số và có thể áp dụng cùng một bộ lọc cho tín hiệu nhận được để cải thiện tỷ lệ nhiễu tín hiệu (SNR) mà không gây ra ký hiệu liên giao thoa (ISI).

Tuy nhiên, nếu một bộ lọc tối ưu hơn được sử dụng để định hình tín hiệu, thì sử dụng cùng một bộ lọc tại máy thu có thể giới thiệu ISI. Không rõ ràng ngay sự lựa chọn tốt nhất của bộ lọc ở cuối nhận là gì.

Sự hiểu biết của tôi là SNR là tối đa bằng cách tối đa hóa , vì vậy tôi muốn tối đa hóa này khi đáp ứng các hạn chế mà bộ lọc nguyên nhân không có ISI ( p ( x ) * q ( x ) = 0 cho x = k T , k là số nguyên, T là chiều rộng ký hiệu).$\int{p(x)q(x)dx}$$p(x)*q(x) = 0$$x=kT$$k$$T$

Có lẽ người ta có thể làm điều này bằng cách giải phương trình Euler-Lagrange với một số bội số trễ cho các ràng buộc. Có một cách dễ dàng hơn, hoặc tôi đang phạm sai lầm, hoặc đi sai hướng?

Đối với trường hợp điều chế tuyến tính trên kênh AWGN với các ký hiệu có thể trang bị (trường hợp rất phổ biến), phương pháp tối ưu là thực sự sử dụng bộ lọc khớp với dạng sóng biểu tượng, nghĩa là:

Sử dụng bộ lọc phù hợp sẽ cung cấp tỷ lệ nhiễu tín hiệu tối ưu ở đầu ra của bộ lọc tại mỗi quyết định ngay lập tức. Điều này dễ dàng nhận thấy khi bạn nhớ rằng bộ lọc phù hợp hoạt động giống như một bộ tương quan chéo trượt giữa tín hiệu đầu vào của nó và dạng sóng biểu tượng dự kiến, tương quan cả hai độ trễ có thể. Ở mức độ quyết định tối ưu, đáp ứng xung của bộ lọc (thường được chia tỷ lệ để có năng lượng đơn vị) xếp chính xác với một biểu tượng được truyền, tương tự như điều kiện độ trễ bằng 0 trong hoạt động tương quan chéo. Tại giá trị thời gian này, sản lượng của bộ lọc tương đương với lượng năng lượng trong các biểu tượng nhận, thu nhỏ lại bởi một yếu tố dữ liệu phụ thuộc (ví dụ như cho BPSK, bộ lọc phù hợp sẽ ra hoặc - E s ), cộng với một thuật ngữ tiếng ồn.$E_s$$-E_s$

Năng lượng tiếng ồn ở đầu ra của bộ lọc trong thời gian lấy mẫu không phụ thuộc vào hình dạng miền thời gian của phản ứng xung của bộ lọc, chỉ có tổng năng lượng của đáp ứng xung (như đã lưu ý trước đây, điển hình là sự thống nhất). Do đó, tỷ lệ tín hiệu / nhiễu được tối đa hóa bằng cách tối đa hóa lượng năng lượng tín hiệu trong đầu ra của bộ lọc tại thời điểm lấy mẫu. Bằng cách chọn bộ lọc máy thu phù hợp với hình dạng biểu tượng, chúng tôi đã làm như vậy, vì dạng sóng biểu tượng có mối tương quan tối đa với đáp ứng xung của bộ lọc có hình dạng giống hệt nhau. Do đó, bộ lọc phù hợp cung cấp SNR tối đa, cho trường hợp kênh AWGN.

Với việc vẫy tay ra khỏi đường (bạn chắc chắn có thể tiếp cận nó với sự nghiêm ngặt hơn về toán học, nhưng tôi là một kỹ sư và đây là một dịch vụ miễn phí; nếu bạn muốn tìm hiểu chi tiết, hãy kiểm tra bất kỳ lý thuyết truyền thông kỹ thuật số nào văn bản), bạn có thể nghĩ rằng tôi quên rằng bạn đã hỏi về trường hợp ISI không lý tưởng. Đừng sợ, vì tôi khẳng định rằng nếu bạn biết hình dạng xung được truyền, bộ lọc phù hợp vẫn là lựa chọn tối ưu cho kênh AWGN.

$p(x)$$q(x)$

Tất nhiên, bạn thường không biết chắc chắn những biểu tượng trước đó là gì; nếu bạn đã làm, thì bạn có thể ở SNR đủ cao để ISI của bạn có thể bị bỏ qua. Trong trường hợp thú vị hơn, bạn không thể đưa ra giả định đó. Thay vào đó, phương pháp phát hiện trình tự khả năng tối đa được sử dụng bằng thuật toán Viterbi. Quá trình này được gọi là cân bằng Viterbi , bởi vì trong mô hình này, bạn xử lý ISI gây ra bởi hình dạng xung giống như mã chập có giá trị mềm được áp dụng cho dạng sóng truyền của bạn. Khoảng thời gian của ISI trong bộ cân bằng Viterbi xác định số lượng trạng thái thuật toán cần thiết, tương tự như độ dài ràng buộc trong mã chập.

Cách tiếp cận này thường được sử dụng trong các hệ thống có hình dạng xung không tối ưu mà bạn lưu ý; một ví dụ đáng chú ý là GSM (sử dụng hình dạng xung Gaussian kéo dài qua nhiều khoảng ký hiệu). Một tài liệu tham khảo tuyệt vời về chủ đề này đã được Sklar xuất bản năm 2003:

B. Sklar, Hồi Làm thế nào tôi học được cách yêu trellis, Tạp chí xử lý tín hiệu IEEE, trang 87-102, tháng 5, 2003