Các số mũ phức tạp có phải là hàm riêng của các hệ thống LTI không?

12

Có một ví dụ về một hàm riêng của hệ thống bất biến thời gian tuyến tính (LTI) không phải là một hàm mũ phức tạp? Eigenfifts of LTI Systems của Justin Romberg nói rằng các bản địa như vậy tồn tại, nhưng tôi không thể tìm thấy.

linear-systems theory eigendecomposition

— Vinod
nguồn

9

Tất cả các hàm riêng của một hệ thống LTI có thể được mô tả theo các hàm mũ phức tạp và các hàm mũ phức tạp tạo thành một cơ sở hoàn chỉnh của không gian tín hiệu. Tuy nhiên, nếu bạn có một hệ thống suy biến , nghĩa là bạn có không gian eigensubaces có kích thước> 1, thì các hàm riêng cho giá trị riêng tương ứng là tất cả các vectơ tuyến tính từ không gian con. Và tổ hợp tuyến tính của các số mũ phức tạp của các tần số khác nhau không phải là số mũ phức tạp nữa.

Ví dụ rất đơn giản: Toán tử nhận dạng 1 như một hệ thống LTI có toàn bộ không gian tín hiệu là eigensubspace với eigenvalue 1. Điều đó ngụ ý TẤT CẢ các hàm là các hàm riêng.

— Nhạc Jazz
nguồn

1

Ngoại trừ chức năng null tất nhiên :) Đùa thôi

— Laurent Duval

0

Tôi nghĩ rằng tôi đã nói rõ câu trả lời của mình --- rõ ràng là không :-). Câu hỏi ban đầu là, "Có eigensignals bên cạnh số mũ phức tạp cho một hệ thống LTI không?". Câu trả lời là, nếu người ta đưa ra một thực tế rằng hệ thống là LTI nhưng không có gì khác được biết, thì ký hiệu duy nhất được xác nhận là hàm mũ phức tạp. Trong các trường hợp cụ thể, hệ thống cũng có thể có thêm eigensignals. Ví dụ tôi đưa ra là LPF lý tưởng với sự chân thành như vậy. Lưu ý rằng chức năng chân không không phải là đặc quyền của hệ thống LTI tùy ý. Tôi đã đưa LPF và sự chân thành làm ví dụ để chỉ ra một trường hợp không tầm thường --- x (t) = y (t) sẽ làm hài lòng một nhà toán học nhưng không phải là kỹ sư: ->. Tôi chắc chắn rằng người ta có thể đưa ra các ví dụ không tầm thường cụ thể khác có các tín hiệu khác như eigensignals bên cạnh số mũ phức tạp.

Ngoài ra, cos và sin nói chung không phải là eigensignals. Nếu cos (wt) được áp dụng và đầu ra là A cos (wt + theta), thì đầu ra này không thể được biểu thị dưới dạng hằng số lần đầu vào (trừ khi theta là 0 hoặc pi, hoặc A = 0), đó là điều kiện cần thiết cho một tín hiệu là một eigensignal. Có thể có những điều kiện theo đó cos và sin là eigensignals, nhưng chúng là những trường hợp đặc biệt và không chung chung.

CSR

— CSR
nguồn

Bạn có chắc bạn hiểu nhận xét của tôi cho câu trả lời khác của bạn? Vấn đề là đối với các hệ thống LTI thực tế, nó được dự kiến sẽ có một sin thực sự là eigensignal. Điều đó không có nghĩa là tất cả các sin của tất cả các tần số là eigensignals. Tôi đặc biệt đưa ra điều kiện chính xác mà chúng là như vậy, và giải thích tại sao điều kiện đó được đáp ứng bởi hầu hết các hệ thống LTI.

— Jazzmaniac

Ngoài ra, đừng quên rằng bạn đã chỉnh sửa câu trả lời của mình để thay đổi ý nghĩa khá nhiều. Bước từ "Đối với một chức năng chuyển giao hợp lý, không có eigensignals khác" đến "Đối với các hệ thống tùy ý, không có tín hiệu eigen chung nào ngoài .." là khá lớn. Vì vậy, đặt nó như mọi người không hiểu phản hồi của bạn một cách chính xác là một chút.

— Jazzmaniac

0

Đối với bất kỳ sytem LTI tùy ý, theo cấp số nhân phức tạp, theo sự hiểu biết tốt nhất của tôi, là eigensignal duy nhất được biết đến. Mặt khác, hãy xem xét LPF lý tưởng. Các chức năng: $\operatorname{sinc}$ có thể dễ dàng được coi là một tín hiệu eigen. Điều này chỉ ra sự tồn tại của các hệ thống LTI (như LPF lý tưởng) có các tín hiệu khác với số mũ phức tạp như tín hiệu eigen (

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

trong trường hợp này).

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— CSR
nguồn

2

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— Jazzmaniac

1

\infty

$\infty$

1

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

1

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$ ). trông giống như một chức năng riêng đối với tôi. nhưng bạn nói đúng về đặc điểm kỹ thuật của CSR.

— robert bristow-johnson

1

L^{2}

$L^2$

0

Có thể các đối tượng đa chiều không gian bất biến như thấu kính có đối xứng tròn. Nó được gọi là sự mở rộng Fourier Bessel. Không có T cho thời gian nhưng quan hệ miền tần số tích chập giữ