Biến đổi Fourier thời gian rời rạc

13

Tôi là một học sinh trung học cơ sở có niềm đam mê chung về điện tử, lập trình và những thứ tương tự. Gần đây, tôi đã được học về xử lý tín hiệu.

Thật không may, tôi chưa thực hiện nhiều tính toán (tha thứ cho tôi), vì vậy tôi hơi mơ hồ về mọi thứ.

Nếu bạn tính toán DTFT của tín hiệu, sự khác biệt giữa biểu diễn $\sin$ hoặc $\cos$ của tín hiệu đó là gì?
Với DTFT tôi hiểu rằng tín hiệu bạn nhập sẽ rời rạc theo thời gian, nhưng làm thế nào bạn có thể đạt được tín hiệu liên tục trong miền tần số trên thế giới?
Điều này dẫn đến câu hỏi thứ hai của tôi, đó là: DTFT hữu ích như thế nào? Nó đã được sử dụng ở đâu với hầu hết các ứng dụng và tại sao?

Tôi sẽ đánh giá cao sự giúp đỡ nào.

fourier-transform

— Điện tử
nguồn

Đối với câu hỏi đầu tiên của tôi, tôi đoán rằng nó chỉ là 90 ° lệch pha. Tuy nhiên, tôi đã tạo ra một số biểu đồ biểu thị khác: i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/ nam i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/ tựa

— ElectroNerd

Câu hỏi tuyệt vời. Tôi đã tạo ra một câu trả lời cho những vấn đề đó đặc biệt là khi chúng liên quan đến cách DSP được đưa vào tâm trí của những người trẻ tuổi. (Điều này đặc biệt đúng ở cấp đại học). Bắn cho tôi một email và tôi có thể cho bạn xem một số tài liệu (quá liên quan để đăng lên đây).

— Spacey

@Mohammad: Xin chào, bạn có thể chia sẻ những tài liệu đó với tôi tại abidrahman2 @ gmail không?

— Abid Rahman K

7

Thật tuyệt khi bạn quan tâm đến việc xử lý tín hiệu ở giai đoạn đầu của con đường giáo dục của bạn.

Con đường tốt nhất để đến đó là đọc một số sách giới thiệu về chủ đề này. Có rất nhiều tài nguyên trực tuyến tốt và miễn phí để bạn bắt đầu. [Lưu ý với biên tập viên quý: sách giới thiệu tốt có thể là một chủ đề thực sự tốt cho một "dính"]. Tôi thỉnh thoảng sử dụng

Một trong những khái niệm toán học quan trọng nhất mà bạn sẽ cần để có được vòng tay của mình là Số phức phức số. Đây rõ ràng là một cách hiểu sai vì nó thực sự không phức tạp và rõ ràng làm cho gần như tất cả các môn toán kỹ thuật trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Một tài nguyên miễn phí tuyệt vời khác cho tất cả những thứ liên quan đến toán học là http://www.khanacademy.org và trong trường hợp này cụ thể là http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-acheebra

Quay lại câu hỏi đầu tiên của bạn: Thực tế có bốn hương vị khác nhau của Fourier Transform: Fourier Series (rất có thể xuất hiện ở trường trung học), Biến đổi Fourier, Biến đổi Fourier rời rạc và Sê-ri Fourier rời rạc. Tất cả chúng đều sử dụng kết hợp cả sin và cos (hoặc theo cấp số nhân phức tạp, về cơ bản là giống nhau). Bạn sẽ cần cả hai.

Giả sử bạn tính các hệ số Fourier sin và cos của sóng hình sin đầu vào. (Trong một số điều kiện nhất định) bạn sẽ thấy rằng tất cả các hệ số Fourier sẽ bằng 0 ngoại trừ một hệ số cosin và một hệ số sin. Tuy nhiên, tùy thuộc vào pha của sóng hình sin đầu vào, hai số này sẽ di chuyển xung quanh. Bạn có thể nhận được [0,707 0,707] hoặc [1 0] hoặc [0 -1] hoặc [-0.866 0.5], v.v. Bạn sẽ thấy tổng bình phương của hai số đó sẽ luôn là 1, nhưng thực tế các giá trị phụ thuộc vào pha của sóng hình sin đầu vào.

Nếu bạn muốn lặn sâu, hãy thử điều này: http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— Hilmar
nguồn

Xin chào Hilmar, cảm ơn bạn đã trả lời! Tôi đã thực hiện khá nhiều với các số phức và phải đồng ý: chúng tương đối đơn giản. Đó là điều tốt để nghe. Sau khi loay hoay thêm một chút, tôi đã tính toán cường độ của cả tín hiệu đầu vào sin và cos cho DTFT và thấy rằng biên độ là như nhau cho cả sin và cos. Cảm ơn đặc biệt cho những cuốn sách tham khảo, bây giờ tôi sẽ bận rộn.

— ElectroNerd

2

Bạn có thể muốn xem các tài liệu có sẵn thông qua

Dự án INFINITY: mở rộng giáo dục kỹ thuật dựa trên xử lý tín hiệu đến lớp học trung học

có sẵn ở đây

— Dilip Sarwate
nguồn

Điều này có vẻ rất thú vị; Tôi có thể thử và giới thiệu nó đến trường của tôi.

— ElectroNerd

1

Biến đổi Fourier thời gian rời của DTFT lấy Tín hiệu vô hạn rời rạc làm đầu vào và đầu ra của nó trong miền tần số là liên tục và có chu kỳ 2 * pi. Đến với việc sử dụng nó, theo kinh nghiệm của tôi, DFT (Biến đổi Fourier rời rạc) là cái được sử dụng cho các mục đích thực tế. Trong một số điều kiện nhất định, có thể dễ dàng chỉ ra rằng DFT của Tín hiệu không định kỳ hữu hạn không là gì ngoài các mẫu DTFT cách đều nhau. Nói chung, nếu chúng ta không đệm chuỗi miền trong thời gian (hoặc không gian), chúng ta sẽ nhận được ngày càng nhiều mẫu của DTFT.

Điểm mấu chốt là DFT rất hữu ích và DFT có thể được xem là các mẫu DTFT cách đều nhau, để có được nhiều mẫu DTFT hơn, thực hiện một tín hiệu không có ích.

— pv.
nguồn

Điều đó có ý nghĩa: Tôi đã nói rằng bạn lấy mẫu trong miền thời gian càng dài thì độ phân giải sẽ càng nằm trong miền tần số một khi bạn tính toán DTFT. Tôi đã vẽ đồ thị này bằng Python và matplotlib ( Sine + zero padding , DTFT of zero padding Đó là một mẹo gọn gàng để làm.

— ElectroNerd 6/212

Tôi phải nói rằng bạn phải cẩn thận ở đây. Một quan niệm sai lầm lớn là việc đệm không tín hiệu của bạn làm tăng độ phân giải tần số của bạn - không. Cách duy nhất để thực sự tăng độ phân giải tần số của bạn là có nhiều dữ liệu hơn - nhiều mẫu miền thời gian hơn. Bây giờ đang được nói, phần đệm không giúp ích gì nếu bạn muốn xem phổ tần số của mình với các điểm được nội suy giữa những gì bạn thực sự tính toán.

— Spacey

1

Trước hết, nó giúp sắp xếp các thuật ngữ được sắp xếp:

Một hàm trong miền thời gian được gọi là tín hiệu .
Một hàm trong miền tần số được gọi là phổ .

{một}_{n} = = \frac{1}{π} \int^{T} S (x) \cos n x d x

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

b_{n} = = \frac{1}{π} \int^{T} S (x) tội n x d x

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

S_{f} (x) = = \frac{{một}_{n}}{2} + Σ_{n = = 1}^{\infty} {một}_{n} \cos (n x) + b_{n} S Tôi n (n x)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

S_{f} (x) = = S (x)

$s_f(x)=s(x)$

Trong phương trình này, a _n và b _{n lần lượt} là phần thực và phần ảo của phổ rời rạc. Do đó, như bạn có thể thấy, biến đổi Fourier của một cosin sẽ là một số thực và đối với một sin, nó sẽ là một số ảo. Chữ T trên tích phân có nghĩa là chúng ta đang tích hợp trong một khoảng thời gian đầy đủ của tín hiệu. Điều này chủ yếu được sử dụng trong những gì được gọi là phân tích sóng hài, mà tôi thường sử dụng khi phân tích các mạch tương tự với tín hiệu không phải hình sin (sóng vuông, sóng tam giác, v.v.) Nhưng nếu tín hiệu không định kỳ thì sao? Điều này không hoạt động và chúng ta phải chuyển sang biến đổi Fourier.

Biến đổi Fourier chuyển đổi tín hiệu liên tục thành phổ liên tục. Không giống như chuỗi Fourier, biến đổi Fourier cho phép chuyển đổi hàm không theo chu kỳ thành phổ. Hàm không tuần hoàn luôn dẫn đến phổ liên tục.

Biến đổi Fourier thời gian rời rạc đạt được kết quả tương tự như biến đổi Fourier, nhưng hoạt động trên tín hiệu rời rạc (kỹ thuật số) chứ không phải là tín hiệu liên tục (tương tự). DTFT có thể tạo ra phổ liên tục vì như trước đây, tín hiệu không định kỳ sẽ luôn tạo ra phổ liên tục - ngay cả khi bản thân tín hiệu không liên tục. Một số lượng tần số vô hạn sẽ vẫn có mặt trong tín hiệu, mặc dù nó rời rạc.

Vì vậy, để trả lời câu hỏi của bạn, DTFT được cho là hữu ích nhất, vì nó hoạt động trên các tín hiệu số và do đó cho phép chúng tôi thiết kế các bộ lọc kỹ thuật số. Bộ lọc kỹ thuật số là xahiệu quả hơn so với những cái tương tự. Chúng rẻ hơn nhiều, đáng tin cậy hơn nhiều và dễ thiết kế hơn nhiều. DTFT được sử dụng trong một số ứng dụng. Ngoài đỉnh đầu của tôi: máy tổng hợp, card âm thanh, thiết bị ghi âm, chương trình nhận dạng giọng nói và giọng nói, thiết bị y sinh, và một số thiết bị khác. DTFT ở dạng nguyên chất chủ yếu được sử dụng để phân tích, nhưng DFT có tín hiệu riêng biệt và tạo ra phổ riêng biệt được lập trình trong hầu hết các ứng dụng trên và là một phần không thể thiếu của xử lý tín hiệu trong khoa học máy tính. Việc triển khai DFT phổ biến nhất là Biến đổi Fourier nhanh. Đây là một thuật toán đệ quy đơn giản có thể tìm thấy ở đây . Tôi hi vọng cái này giúp được! Hãy bình luận nếu bạn có bất kỳ câu hỏi.

— Zetta Suro
nguồn

0

Như pv. DFT cho biết có được bằng cách lấy mẫu DTFT trong "Miền tần số". Như bạn có thể biết tín hiệu thời gian rời rạc thu được bằng cách lấy mẫu tín hiệu thời gian liên tục. Tuy nhiên, để xây dựng tín hiệu thời gian liên tục hoàn hảo từ đối tác thời gian rời rạc của nó, tốc độ lấy mẫu PHẢI lớn hơn tốc độ Nyquist. Để thực hiện điều này, tín hiệu thời gian liên tục phải được giới hạn tần số.

Đối với DTFT và DFT, câu chuyện bị đảo ngược. Bạn có DTFT liên tục trong miền "Tần suất". Về cơ bản, bạn không thể lưu trữ tín hiệu liên tục và xử lý nó trong máy tính. Giải pháp là lấy mẫu! Vì vậy, bạn lấy mẫu từ DTFT và gọi DFT kết quả. Tuy nhiên, theo định lý lấy mẫu để tái cấu trúc DTFT hoàn hảo từ DFT, đối tác miền thời gian của DTFT PHẢI được phân định theo "thời gian". Đó là lý do tại sao người ta phải sử dụng cửa sổ trước khi dùng DFT.

— Sina
nguồn