Tại sao các bộ lọc FIR vẫn ổn định mặc dù chúng có chứa các cực?

15

Làm thế nào đến bộ lọc FIR luôn ổn định?
Vì chúng có chứa cực, nên chúng không bị ảnh hưởng bởi các vấn đề ổn định hơn những cái khác?

filters finite-impulse-response

FIR ổn định nếu tất cả số 0 nằm trong vòng tròn đơn vị

— datoashuili

2

Không đúng: FIR luôn ổn định và các số không có thể ở bất cứ đâu chúng muốn kể cả ngoài vòng tròn đơn vị. Ví dụ: bộ lọc [1 -6 11 -6] có các số 0 tại z = 1, 2 và 3

— Hilmar

một lần nữa, @Hilmar, nó phụ thuộc vào cách FIR được thực hiện. FIR được triển khai dưới dạng rút gọn IIR (TIIR) có thể không ổn định bên trong. được thực hiện như một bộ lọc FIR ngang đơn giản, vâng, nó luôn ổn định. nó ổn định ngay cả khi được triển khai bằng cách sử dụng "tích chập nhanh" (sử dụng FFT và "chồng chéo thêm" hoặc "chồng chéo-lưu"). và đôi khi khi được triển khai như một bộ lọc TIIR thì nó ổn định (nếu IIR bên trong ổn định). nhưng FIR được triển khai như một TIIR có thể không ổn định trong nội bộ.

— robert bristow-johnson

8

Bộ lọc FIR chỉ chứa số không và không có cực. Nếu một bộ lọc chứa các cực, đó là IIR. Bộ lọc IIR thực sự bị ảnh hưởng bởi các vấn đề ổn định và phải được xử lý cẩn thận.

BIÊN TẬP:

Sau khi suy nghĩ thêm và viết nguệch ngoạc và google, tôi nghĩ rằng tôi đã có câu trả lời cho câu hỏi này về cực FIR, hy vọng sẽ thỏa đáng cho các bên quan tâm.

Bắt đầu với biến đổi Z của bộ lọc FIR dường như vô nghĩa: Như được thể hiện trong câu trả lời của RBJ, các cực FIR được tiết lộ bằng cách nhân tử số và mẫu số củavới:

H (z) = \frac{b_{0} + b_{1} z^{- 1} + b_{2} z^{- 2} + \dots + b_{N} z^{- N}}{1}

$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_N z^{-N}}{1}$

H (z)

$H(z)$

z^{N}

$z^{N}$

Do đó thu được cáccực

của chúng tatại điểm gốc của bộ lọc FIR chung.

H (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N}}

$H(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N}}$

N

$N$

Tuy nhiên, để hiển thị điều này, giả định về quan hệ nhân quả được đặt trên bộ lọc. Thật vậy, nếu chúng ta xem xét một bộ lọc FIR tổng quát hơn trong đó không giả sử nhân quả: Một số cực khác nhauxuất hiện ở gốc:

G (z) = \frac{b_{0} z^{k} + b_{1} z^{k - 1} + b_{2} z^{k - 2} + \dots + b_{N} z^{k - N}}{1}

$G(z) = \frac{b_0 z^{k} + b_1 z^{k-1} + b_2 z^{k-2} + \cdots + b_N z^{k-N}}{1}$

(N - k)

$(N-k)$

G (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N - k}}

$G(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N-k}}$

Vì vậy, tôi kết luận như sau:

(Trả lời câu hỏi ban đầu) Nói chung, bộ lọc FIR không có cực, mặc dù luôn luôn ở gốc của mặt phẳng Z. Bởi vì chúng không bao giờ vượt ra ngoài vòng tròn đơn vị, chúng không có mối đe dọa đối với sự ổn định của hệ thống FIR.
$N$ $k$ $N^{th}$ $(k=0)$ $N$
$H (z) = z^{- 1} = \frac{1}{z}$ $H(z) = z^{-1} = \frac{1}{z}$

— Kenneide
nguồn

2

Bộ lọc IIR không thực sự nguy hiểm.

— dùng7353

19

$z=0$

bởi vì tất cả các cực được đặt bên trong vòng tròn đơn vị, bộ lọc FIR ổn định bề ngoài.

đây có lẽ không phải là bộ lọc FIR mà OP đang nghĩ đến, nhưng có một loại bộ lọc FIR được gọi là bộ lọc Truncated IIR (TIIR) có thể có một cực trên hoặc bên ngoài vòng tròn đơn vị bị hủy bởi số 0 tại cùng một vị trí. ví dụ đơn giản nhất về điều này là tổng di chuyển hoặc bộ lọc trung bình di chuyển. nhưng, từ góc độ I / O, các bộ lọc TIIR này là FIR.

nhưng tôi sẽ không ngây thơ đảm bảo "sự ổn định". sử dụng ngôn ngữ hệ thống điều khiển, bộ lọc TIIR không "hoàn toàn có thể quan sát được" và có thể ổn định vì đáp ứng xung của nó có vẻ hữu hạn về chiều dài, nhưng bên trong các trạng thái bộ lọc có thể sẽ rơi vào địa ngục và với độ chính xác số hữu hạn, cuối cùng sẽ mất ổn định hiển thị ở đầu ra.

chúng ta phải tự nghi ngờ bản thân rằng "Bộ lọc FIR không có cực" . điều đó không đúng

— robert bristow-johnson
nguồn

Về mặt toán học, bạn có thể chỉ ra rằng các bộ lọc FIR có cực không, vì tôi không thấy nó.

— Jim Clay

Ví dụ tốt nhất về FIR có cực là bộ lọc Cascaded Integration-Comb (CIC). Nó bắt đầu với một bộ lọc trung bình di chuyển đơn giản (các hệ số như 1, 1, 1, 1) và viết lại theo cách đệ quy - từ đó giới thiệu một cực. Xem liên kết . Chúng thường được triển khai trên các GPU như là bước đầu tiên trong quá trình chuyển đổi xuống vì ở dạng đệ quy của chúng, chúng khá rẻ để thực hiện tính toán. Xem tài liệu Graychip làm ví dụ. Chúng thường được thực hiện ở điểm cố định để duy trì sự ổn định.

— David

1

Tôi nghĩ rằng chúng ta sẽ phải đồng ý không đồng ý - bản tóm tắt từ bài báo gốc của Hogenau có ghi "Một lớp các bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn pha tuyến tính kỹ thuật số (FIR) cho phép khử (giảm tốc độ lấy mẫu) và nội suy (tăng tốc độ lấy mẫu) được trình bày."

— David

4

N^{t h}

$N^{th}$

N

$N$

2

@JimClay, bộ lọc tổng di chuyển hoặc trung bình di động của CIC chắc chắn là bộ lọc FIR. IR của nó là F. nó thường không được triển khai như một bộ lọc FIR ngang, nhưng chắc chắn có thể là nếu bạn muốn trả tiền cho nó bằng MIPS.

— robert bristow-johnson

14

"Bạn có thể chỉ ra một cách toán học rằng các bộ lọc FIR có cực, bởi vì tôi không nhìn thấy nó." - Jim Clay

chúng ta có thể cho rằng FIR này là nhân quả không?

$N$ $N+1$

Đáp ứng xung hữu hạn: $\quad h[n] = 0 \quad \forall \quad n>N, \ n<0$

chức năng chuyển của FIR:

\begin{aligned} H (z) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} h [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{N} h [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{N} z^{- N} h [n] z^{N - n} \\ = z^{- N} \sum_{n = 0}^{N} h [N - n] z^{n} \\ = \frac{\sum_{n = 0}^{N} h [N - n] z^{n}}{z^{N}} \\ = \frac{h [N] + h [N - 1] z + h [N - 2] z^{2} + \dots + h [1] z^{N - 1} + h [0] z^{N}}{(z - 0)^{N}} \end{aligned}

$\begin{align} H(z) & = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} z^{-N} h[n] z^{N-n} \\ & = z^{-N} \sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^n \\ & = \frac{\sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^{n}}{z^N} \\ & = \frac{h[N] + h[N-1]z + h[N-2]z^2 + \cdots + h[1]z^{N-1} + h[0]z^N}{(z-0)^N} \\ \end{align}$

tất cả những gì bạn phải làm là tính đến tử số và bạn sẽ biết số không ở đâu. nhưng rõ ràng là tất cả các cực đều dành cho bộ lọc FIR. và có nhiều cực như thứ tự của bộ lọc FIR. lưu ý rằng các cực này không ảnh hưởng đến đáp ứng tần số. ngoại trừ pha.

— robert bristow-johnson
nguồn

6

Tôi đứng sửa. Cảm ơn đã giải thích.

— Jim Clay

1

Một số định nghĩa, thực sự. Vì bạn nhập năng lượng hữu hạn và Bộ lọc sẽ chỉ cung cấp tối đa nhiều đầu vào năng lượng (đáp ứng xung của nó có năng lượng hữu hạn), tín hiệu kết quả sẽ có tối đa bội số của đầu vào năng lượng. Nó không thể cộng hưởng và do đó leo thang, như các bộ lọc IIR có thể. Đây là đằng sau câu trả lời của Kenneides là tốt.

— người dùng7353
nguồn

vâng, và nó sai như câu trả lời của Kenneide.

— robert bristow-johnson

2

H (z) = 1

$H(z)=1$

2

H (z) = 1 = \frac{z}{z}

$H(z) = 1 = \frac{z}{z}$

H (z) = z

$H(z)=z$

1

H (z) = z^{- 1}

$H(z) = z^{-1}$

z = 0

$z=0$

1

Không ai thực sự cảm động về lý do tại sao các cực của bộ lọc FIR có thể tháo rời được nên tôi đã cố gắng trả lời điều này bên dưới.

Các bộ lọc FIR sẽ có các cực có thể tháo rời ở điểm gốc, bởi vì giới hạn của đáp ứng xung của chúng đòi hỏi điều này. Đó là xung quanh cực, có thể xác định hàm sao cho nó vẫn còn biến đổi (khác biệt ở mọi điểm trong miền của nó).

Định lý của Riemann là nếu tín hiệu có thể phân biệt ở mọi điểm trong miền của nó (ngoại trừ nhiều điểm chính xác), thì sẽ tồn tại một vùng lân cận xung quanh các điểm đặc biệt này nơi hàm bị giới hạn. Hàm ý có hai cách trong định lý này, do đó, vì các bộ lọc FIR được yêu cầu phải có đáp ứng xung bị ràng buộc nên đáp ứng xung phải khác biệt tại mọi điểm trong vòng tròn đơn vị. Do đó, tín hiệu có thể được mở rộng một cách nhất quán để không có điểm kỳ dị (tức là các cực có thể tháo rời).

$z$

— Tom Kealy
nguồn

1

z

$z$

z

$z$

z

$z$

z^{- 1}

$z^{-1}$