Một bộ lọc nhân quả mà không có sự thay đổi pha có thể tồn tại?

Khi tôi đang nghiên cứu sự phân tán chỉ số khúc xạ trong chất bán dẫn và chất điện môi, giáo sư của tôi đã cố gắng giải thích rằng nếu một bộ lọc (như chất điện môi hấp thụ một số tần số ánh sáng, hoặc bộ lọc RC điện) sẽ loại bỏ một số tần số, thì các bộ lọc còn lại phải bị lệch pha để bù cho các tần số đó (được lan truyền vô hạn theo thời gian như các tín hiệu đơn sắc thông thường) bị trừ khỏi toàn bộ tín hiệu, để bảo toàn quan hệ nhân quả.

Tôi trực giác hiểu những gì anh ta đang nói, nhưng điều tôi không chắc là liệu lập luận của anh ta có thực sự hợp lý hay không - tức là liệu có thể tồn tại một bộ lọc không tầm thường, hấp thụ một số tần số và khiến các tần số còn lại không bị dịch chuyển, nhưng vẫn giữ được nhân quả. Tôi dường như không thể xây dựng một cái, nhưng không thể chứng minh nó cũng không tồn tại.

Vì vậy, câu hỏi là: làm thế nào (dis) có thể chứng minh rằng bộ lọc nhân quả phải thay đổi các pha tần số so với nhau?

Giả sử rằng bộ lọc tuyến tính có đáp ứng xung và hàm đáp ứng / truyền tần số , trong đó có thuộc tính (ràng buộc liên hợp).$h(t)$$H(f) = \mathcal F [h(t)]$$H(f)$$H(-f) = H^*(f)$

Bây giờ, phản hồi của bộ lọc này đối với đầu vào hàm mũ phức tạp là và nếu chúng tôi muốn bộ lọc này không gây ra sự dịch pha, thì đó phải là cho tất cả . $x(t) = e^{j2\pi f t}$

Làm thế nào nếu, thay vì không có sự thay đổi pha, chúng tôi sẵn sàng cho phép một sự thay đổi pha cố định cho tất cả các tần số? Nghĩa là, đối với tất cả có thể chấp nhận được đối với chúng tôi khi không cần phải là ? Vĩ độ bổ sung không giúp ích nhiều, vì và vì vậy không thể có giá trị không đổi cố định cho tất cả trừ khi giá trị đó là . $\angle H(f) = \theta$ $f$$\theta$$0$$\angle H(-f) = -\angle H(f)$$\angle H(f)$$f$$0$

Chúng tôi kết luận rằng nếu một bộ lọc hoàn toàn không thay đổi pha, thì là một hàm có giá trị thực và do ràng buộc liên hợp, nó cũng là một hàm chẵn của . Nhưng sau đó, biến đổi Fourier của nó là một hàm chẵn của thời gian, và do đó bộ lọc không thể là nguyên nhân (ngoại trừ trong các trường hợp tầm thường): nếu đáp ứng xung của nó là khác không đối với bất kỳ , thì nó cũng không khác (trong đó ).$H(f)$$f$$h(t)$$t > 0$$-t$$-t < 0$

Lưu ý rằng bộ lọc không cần thực hiện bất kỳ triệt tiêu tần số nào, nghĩa là chúng tôi không cần giả định rằng một số tần số bị "loại bỏ" bởi bộ lọc (như bộ lọc của giáo sư OP) để chứng minh rằng không thể dịch chuyển pha 0 với bộ lọc nhân quả, triệt tiêu tần số hay không.

Có những bộ lọc gây ra sự dịch pha ,, tuyến tính ', nghĩa là độ trễ không đổi. Không thể lọc bất cứ thứ gì (nguyên nhân) mà không gây ra bất kỳ sự chậm trễ nào.

Sự thay đổi pha là do thời gian trễ, tức là Thời gian của tín hiệu được truyền từ đầu vào đến đầu ra của hệ thống. Bây giờ nếu hệ thống không gây ra bất kỳ sự thay đổi pha nào thì điều đó có nghĩa là độ trễ thời gian bằng không. Bây giờ hãy nghĩ về một hệ thống cung cấp đầu ra cùng một lúc khi đầu vào được áp dụng. Điều đó sẽ có thể chứ? Tất nhiên là không. Nếu có một hệ thống thì nó phải thực hiện một số loại công việc trên tín hiệu tạo ra độ trễ và cuối cùng là dịch pha

Bạn có thể có một bộ lọc mà không có sự thay đổi pha. Nó được gọi là người quan sát (người dự đoán). Nó không còn chỉ là một bộ lọc nữa mà là một mô hình toán học về cách đọc nhiều cảm biến liên quan đến nhau. Vì vậy, bạn có thể dự đoán tín hiệu và do đó có dự đoán tốt nhất có thể về tín hiệu thực cùng lúc bạn thực hiện các phép đo của mình (không có dịch pha).