Biến đổi Fourier rời rạc

Tôi đang cố gắng để hiểu DFT thực và DFT và tại sao sự khác biệt tồn tại.

Từ những gì tôi biết cho đến nay DFT sử dụng $e^{i2\pi kn/N}$ cho vectơ cơ sở và cung cấp cho các đại diện

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$ Tổng được viết từ

k = 0

$k=0$ đến

N - 1

$N-1$ vì những lý do lịch sử, tôi nghĩ thay vì viết nó theo cách tương tự với chuỗi Fourier với tổng đi từ

k = - N / 2

$k=-N/2$ tới

N / 2 - 1

$N/2-1$ :

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$ này dựa vào một đặc biệt anomoly của DFT nơi tần số cao giống như tần số âm:

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

Tiếp tục tương tự với Fourier Series DFT thực cung cấp cho các đại diện Điều này có thể được xem là ghép nốivớitrong biểu diễn DFT trong đó tổng nằm trong khoảng từđến. Đây là rất giống với cặp

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

nối hai đại diện của một Series Fourier:

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

Câu hỏi của tôivậy thì tại sao DFT lại phổ biến hơn nhiều so với DFT thực sự? Người ta sẽ mong đợi rằng vì DFT thực sự đang sử dụng các sin và cosin có giá trị thực sự làm cơ sở và do đó đại diện cho bức tranh hình học tốt hơn mà mọi người sẽ thích nó hơn. Tôi có thể thấy tại sao DFT và Biến đổi Fourier liên tục sẽ được ưa thích theo nghĩa lý thuyết vì đại số của hàm mũ là đơn giản hơn. Nhưng bỏ qua đại số đơn giản hơn, từ quan điểm áp dụng tính toán thực tế tại sao DFT sẽ hữu ích hơn? Tại sao việc biểu diễn tín hiệu của bạn với các số mũ phức tạp sẽ hữu ích hơn trong các ứng dụng vật lý, lời nói, hình ảnh, v.v. hơn là phân tách tín hiệu của bạn thành các sin và cosin. Ngoài ra nếu có bất cứ điều gì tinh tế tôi đang thiếu trong phần trình bày ở trên, tôi muốn biết: Tôi '

dft

— người dùng782220
nguồn

Biến đổi Fourier rời rạc thực sự quan trọng vì lý do áp dụng DFT thông thường cho chuỗi thực sẽ dẫn đến một số dư thừa, trong đó với độ dài

chuỗi thực

với biến đổi tương ứng

, dãy

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

chính xác là liên hợp phức của chuỗi

. Do đó, lý do là người ta chỉ cần các mục tương ứng với tần số dương của biến đổi. Người ta cũng sẽ bắt gặp cái gọi làbiến đổi Hartleytrong bối cảnh này. Cả hai phương pháp đều được sử dụng.

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

BTW: Tôi đặc biệt khuyên bạn nên đọc hai bài báo này về cả biến đổi Fourier thực và biến đổi Hartley; họ làm tốt công việc giải thích sự quan tâm đến các phương pháp này ngoài chính DFT.

Có đúng là ma trận của RDFT và ma trận của DFT có liên quan với nhau bởi sự thay đổi cơ sở không? Và sự thay đổi của cơ sở thực sự là một sự phản ánh tương tự như cách chuỗi Fourier có thể được biểu diễn theo hai cách với các hệ số liên quan bởi

. Và điểm mấu chốt trong ngữ cảnh của DFT là tần số trên phải được coi là tần số âm để có thể thực hiện ghép cặp

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

để get sin và cosin như trong loạt Fourier, cho RDFT

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

— user782220

Một trong những chương trong Văn Loan giải quyết chi tiết câu hỏi của bạn. Điều đó giả định một số kỹ năng với các thao tác của sản phẩm Kronecker.

Ít nhất bạn nên có ít câu hỏi hơn bây giờ.

Ưu điểm của DFT phức tạp hoặc Fourier phức tạp chuyển đổi hoặc phức tạp Fourier series là tuyến tính hệ thống có thuộc tính tốt đẹp mà phản ứng với là . (Ở đây có thể là một hằng số phức). Vì vậy, đầu ra chỉ là bội số vô hướng của đầu vào. Quan trọng hơn, nếu chúng ta có một đại diện của đầu vào dưới dạng tổng của các số mũ phức tạp, thì đầu ra chỉ là một tổng trọng số khác của cùng một số mũ. Trọng lượng khác nhau, nhưng $A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$ cùng một bộ số mũ . Hơn nữa, mỗi trọng lượng mới có được bằng cách nhân trọng lượng cũ với một số thích hợp.

Tất nhiên, không có hệ thống vật lý nào có các tín hiệu giá trị phức tạp đi vào và đi ra; ít nhất, không phải như ngày nay mặc dù người ta luôn có thể hy vọng những điều tốt đẹp hơn trong tương lai. Trong lúc này, chúng ta lấy phần thực của các tín hiệu phức tạp, hoặc có được đáp ứng với hoặc qua tuyến tính và chồng chất và sử dụng tự do của $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = = \frac{điểm kinh nghiệm (j ω t) + điểm kinh nghiệm (- j ω t)}{2} \\ tội (ω t) & = = \frac{điểm kinh nghiệm (j ω t) - điểm kinh nghiệm (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

Ngược lại, phản ứng với $\cos(\omega t)$ có dạng $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ . Vì vậy, trong khi tuyến tính và chồng chất, v.v ... đều hoạt động, đầu ra có thể cần sử dụng các hàm cơ sở khác với đầu vào. Tất nhiên, liên quan rất chặt chẽ, nhưng vẫn có thể khác nhau và có thể cần nhiều chức năng cơ bản hơn. Ví dụ: đầu vào $\cos(\omega t)$ được đại diện bởi một chức năng cơ bản, đầu ra $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ bởi hai chức năng cơ bản. Có thể lập luận rằng các hàm phức tạp đòi hỏi gấp đôi so với các hàm thực và vì vậy mọi khoản tiết kiệm hoàn toàn là tưởng tượng (ý định chơi chữ), nhưng các biểu diễn phức tạp cho phép xử lý thống nhất trong khi các biểu diễn sin / cos thì không. Nhanh chóng! Đưa ra câu trả lời cho $\cos(\omega t)$ is $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ , what is the response to $\sin(\omega t)$ ? You have to work at it a bit, you may need to invoke formulas such as

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$ and so on. With complex exponentials, life is a lot easier.

Nhưng, như trong cuộc sống thực, số dặm của bạn có thể thay đổi, và nếu bạn cảm thấy rằng các biểu diễn tội lỗi / cos là con đường để đi và các số mũ phức tạp nên được tránh khỏi, bạn có thể tự do đi theo trái tim mình. Nếu bạn gặp khó khăn trong việc truyền đạt ý tưởng của mình cho đồng nghiệp, sếp, khách hàng hoặc chuyên gia tư vấn, đó sẽ là mất mát của họ chứ không phải của bạn.

— Dilip Sarwate
nguồn