Liệu nghịch đảo-CTFT tồn tại cho một đồng bằng dirac?

8

Có biến đổi Fourier thời gian liên tục nghịch đảo tồn tại cho một đồng bằng Dirac (Một đột biến nhân quả / không nhân quả) không?

continuous-signals

— Mikhail
nguồn

1

Xem câu trả lời cho một câu hỏi gần đây liên quan đến math.SE cũng sẽ cho bạn biết cách sử dụng bảng của các cặp biến đổi Fourier phổ biến đối với biến tần radian radian / giây để có được các cặp biến đổi Fourier liên quan đến biến tần trong Hertz. Đối với trường hợp cụ thể của các xung theo thời gian hoặc tần suất, khóa là thuộc tính sàng lọc :

ω

$\omega$

f

$f$

\int_{- \infty}^{\infty} x (y) δ (y - một) d y = = x (một) nếu x (y) liên tục tại một .

$\int_{-\infty}^{\infty} x(y) \delta(y-a)\mathrm dy = x(a) ~ \text{if}~x(y)~\text{is continuous at}~a.$

— Dilip Sarwate

4

Vâng, đây là một hàm mũ phức tạp , ở một tần số xác định bởi "vị trí" của đồng bằng (đầu vào của bạn là ). Viết không thể thiếu đối với Biến đổi Fourier ngược, sử dụng định nghĩa của và bạn sẽ thấy nó "chọn" ở tần số đặc biệt này những con người mũ phức tạp tích hợp. $e^{2 \pi i f_0 t}$ $f_0$ $\delta(f - f_0)$ $\delta$

— pichenettes
nguồn

1

Đây là một biến đổi rất quan trọng thường được tìm thấy trong một bảng các biến đổi Fourier phổ biến như thế này .

— Jason R

3

Như một lưu ý phụ: Chuyển đổi Fourier chuyển tiếp và nghịch đảo chủ yếu là cùng một thứ. Ví dụ: một hình chữ nhật trong một miền tương ứng với sin (x) / x trong miền khác (bất kể nó bắt đầu theo thời gian hay tần suất). Điều tương tự cũng xảy ra đối với một delta: xung trong một miền tương ứng với một số mũ phức tạp trong miền khác.

Bạn có thể triển khai FFT ngược (dựa trên FFT chuyển tiếp) như sau:

lấy liên hợp
chuyển tiếp FFT
lấy liên hợp một lần nữa
chia theo chiều dài của chuỗi

Trong Matlab sẽ trông như thế này

n = 1024;
x0 = randn(n,1) + j*rand(n,1); % random sequence
fx = fft(x0);  % take the FFT
x1 = conj(fft(conj(fx)))/n; % inverse fft based on fw fft
% print an error metric how close we got to the orginal signal
fprintf('Error = %6.2f dB\n', 10*log10(sum( (x1-x0).* conj(x1-x0))./sum(x0.*conj(x0))));

— Hilmar
nguồn

N

$N$

1

Đúng. Tỷ lệ của Matlab có lẽ là phổ biến nhất (và được thấy trong hầu hết các sách giáo khoa). 1 / sqrt (N) cho cả chuyển tiếp và nghịch đảo sẽ tốt hơn là nó đảm bảo phiên bản sạch nhất của định lý Parseval, tức là năng lượng trong miền thời gian bằng năng lượng trong miền tần số.

— Hilmar