Khi nào chúng ta có thể viết Nguyên lý bất định Heisenberg như một đẳng thức?

13

Chúng ta biết rằng Heisenberg không chắc chắn Nguyên tắc nói rằng

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

Nhưng (trong nhiều trường hợp cho Morlet wavelet) tôi đã thấy rằng họ đã thay đổi bất đẳng thức thành một đẳng thức. Bây giờ câu hỏi của tôi là khi chúng ta được phép thay đổi sự bất bình đẳng đến một sự bình đẳng:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Thợ điện
nguồn

nó có vẻ rất thú vị

— dato datuashvili

1

như tôi biết là bằng nhau nếu phân phối gaussian có hình dạng tối ưu, vui lòng xem cuốn sách này Cẩm nang chuyển đổi Wavelet minh họa: Lý thuyết giới thiệu và ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật, y học và tài chính

— datoashuili

1

liên kết bị hỏng, bạn có thể gửi email cho cuốn sách hoặc gửi một liên kết khác không? email của tôi: <Electricaltranslation @ gmail> cảm ơn @datodatuashvili

— điện

7

Điều quan trọng là xác định thời gian và tần số rộng và $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$ của một tín hiệu trước khi thảo luận bất kỳ hình thức đặc biệt của nguyên lý bất định. Không có định nghĩa duy nhất về những đại lượng này. Với các định nghĩa phù hợp, có thể chỉ ra rằng chỉ tín hiệu Gaussian thỏa mãn nguyên lý bất định với đẳng thức.

Hãy xem xét một tín hiệu với biến đổi Fourier thỏa mãn $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

Không có điều kiện nào trong số này thực sự là một hạn chế. Tất cả đều có thể được thỏa mãn (đối với các tín hiệu có năng lượng hữu hạn) bằng cách điều chỉnh tỷ lệ, dịch mã và điều chế thích hợp.

Nếu bây giờ chúng ta xác định độ rộng thời gian và tần số như sau

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

sau đó nguyên tắc không chắc chắn nói rằng

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

(nếu $f(t)$ biến mất nhanh hơn cho $1/\sqrt{t}$ ) $t\rightarrow\pm\infty$

trong đó bất đẳng thức được thỏa mãn với sự bằng nhau cho tín hiệu Gaussian

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

Các số phương trình ở trên tương ứng với bằng chứng bên dưới là từ Mã hóa Wavelets và Subband của Vetterli và Kovacevic (tr.80):

nhập mô tả hình ảnh ở đây

— Matt L
nguồn

cảm ơn vì toán học, tôi sẽ cố gắng hiểu nó @ matt-l

— điện

@Matt L.: Tại sao bạn xác định độ rộng thời gian và tần số với bộ cân bằng bình phương? Tôi đã thấy ở trường rằng các phương sai và w là phương sai. Phương sai của phân phối là với một weightfactor tuyến tính? Cái này là cái gì? Vì vậy, điều này có nghĩa là nguyên tắc không chắc chắn này không nói về phương sai của hàm và phương sai của phổ, nhưng cái gì khác?

— Martijn Courteaux

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

1

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

3

Tôi không thể đưa ra cho bạn tất cả lý thuyết đằng sau điều này (vì nó thực sự lấp đầy sách), nhưng hóa ra Heisenberg trở thành một sự bình đẳng chính xác cho chính xác họ tín hiệu này:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

trong đó tất cả các tham số là số thực. Họ này được tạo ra bởi sự đối xứng bậc hai theo tần số thời gian từ một nguyên tử Gabor duy nhất. Những triệu chứng này bảo tồn mối quan hệ không chắc chắn Heisenberg.

$\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

Tuy nhiên, khái niệm về vùng tần số thời gian có thể được khái quát hóa để đo diện tích của các hình không khớp với trục thời gian và tần số. Điều đó có nghĩa là thay vì sản phẩm không chắc chắn giữa F và T, chúng tôi đo sản phẩm có độ không đảm bảo tối thiểu của hai biến liên hợp được kéo dài bởi F và T. Tôi sẽ cung cấp cho bạn thông tin chi tiết, nhưng đối với định nghĩa về vùng tần số thời gian này, họ tín hiệu đưa ra bạn tối thiểu

— Nhạc Jazz
nguồn

1

Không phải đó là fuuctuons Gabuor fijlter sao? '

— Jean-Yves

Một lý do tại sao nó "lấp đầy sách" là vì nhiều điều kiện cần thiết cho sự bình đẳng được xác định chính xác và giới hạn (vượt quá bất kỳ sự hữu ích nào trong bất kỳ bối cảnh nào khác, chẳng hạn như thế giới thực).

— hotpaw2

Bối cảnh ban đầu của nguyên lý bất định Heisenberg là vật lý, cụ thể là cơ học lượng tử trong đó các biến liên hợp trong câu hỏi là vị trí và động lượng. Nó không bị giới hạn để phân tích thời gian / tần số.

— dùng2718

@BZ, bạn đang giảng cho dàn hợp xướng ở đây. Tôi là một nhà vật lý lượng tử toán học. Tuy nhiên tôi không thấy ý kiến của bạn ở đây hay câu trả lời của bạn.

— Jazzmaniac

2

Nguyên tắc không chắc chắn thiết lập một ràng buộc lý thuyết cho độ phân giải, vì vậy nó không bao giờ được viết dưới dạng một đẳng thức.

Các mối quan hệ bình đẳng mà bạn đang gặp phải dành cho bối cảnh phân tích cụ thể và thực hiện phân tích. Trong trường hợp này, bối cảnh là phân tích tín hiệu, do đó thời gian / tần số là các biến quan tâm liên hợp và việc thực hiện là bước sóng cụ thể được sử dụng.

Mối quan hệ bình đẳng cung cấp một cách so sánh các nghị quyết qua các triển khai phân tích khác nhau. Cần thận trọng khi diễn giải các mối quan hệ này vì định nghĩa về độ phân giải không nên, nhưng có thể khác nhau.

Một mối quan hệ bình đẳng là phù hợp khi bạn đã xác định hai điều: 1) ý nghĩa toán học của độ phân giải. 2) phương pháp phân tích (trong trường hợp này, lựa chọn wavelet).

— người dùng2718
nguồn

Nếu bạn đào sâu hơn thì nguyên tắc của Heisenberg sẽ trở thành nhiều hơn một tuyên bố về độ phân giải. Nó liên kết sâu sắc với hình học tần số thời gian trong một cấu trúc toán học gọi là hình học không giao hoán. Nó cung cấp một thước đo lý thuyết thông tin cho thông tin tần số thời gian và trở thành lượng tử chính xác. Bạn thậm chí có thể sử dụng nó để khái quát định lý Shannon để tái cấu trúc các vùng TF tùy ý.

— Jazzmaniac

Trong cơ học lượng tử, nguyên lý bất định là bất kỳ sự bất bình đẳng toán học nào khẳng định giới hạn cơ bản cho độ chính xác mà các cặp tính chất vật lý nhất định của hạt gọi là biến bổ sung, như vị trí x và động lượng p, có thể được biết đồng thời. Chẳng hạn, vào năm 1927, Werner Heisenberg tuyên bố rằng vị trí của một số hạt càng chính xác thì động lượng của nó càng kém chính xác và ngược lại. [Wikipedia - nhưng tôi đã học được điều này trong Vật lý và đã truy cập nó một lần nữa trong các lớp phân tích]

— user2718