Đại diện loạt Fourier

Về mặt khái niệm khi chúng ta muốn biểu diễn một chuỗi peroidic, ví dụ như một chuỗi xung, chúng ta tìm thấy các hệ số Fourier và có được một đại diện trong miền thời gian.

Tuy nhiên, điều gì là sai về mặt khái niệm với việc sử dụng một hàm vô hạn của các hàm chỉnh lưu thời gian để biểu diễn nó?

Xin lỗi tôi đã có một vấn đề định dạng, vì vậy tôi đang đặt vấn đề này ở bài viết dưới cùng ...

Phương pháp của tôi là như vậy:

Giả sử chúng ta có một xung định kỳ $x(t)$ như vậy mà $x(t) = 1$ cho $0 < t< T$ và $0$ cho $T < t < T_p$; do đó$x(t)$ có một khoảng thời gian $T_p$.

Tìm hệ số phạm vi Ck thông qua:

trong hơn 1 khoảng thời gian và do đó chúng ta có thể biểu diễn x (t) là:

và thực hiện biến đổi Fourier, chúng ta sẽ nhận được mẫu này:

đó là rời rạc.

Tuy nhiên nếu chúng ta xem xét $x(t)$ thuộc dạng này:

Áp dụng biến đổi fourier của $x(t)$ để có được (trong mẫu):

trong đó chân thành () là do FT của orth và e ^ (- j * W) xuất hiện do tính chất dịch chuyển thời gian của FT.

So sánh X (f) trong (1) và (2), chúng ta thấy rằng 1 là rời rạc và khác liên tục.

Tuy nhiên, chúng đến từ cùng một x (t), vì vậy đây không phải là một mâu thuẫn sao?

Xin lôi vi bai đăng dai.

Tuy nhiên, điều gì là sai về mặt khái niệm với việc sử dụng một hàm vô hạn của các hàm chỉnh lưu thời gian để biểu diễn nó?

Không có gì sai về mặt khái niệm với nó. Biến đổi Fourier phân tách tín hiệu thành một tổng số các hình sin phức tạp, nhưng bạn cũng có thể phân tách tín hiệu thành nhiều thứ khác, có thể hữu ích hơn trong một số ứng dụng nhất định. Chẳng hạn, biến đổi sóng con Haar phá vỡ tín hiệu một tổng các xung hình chữ nhật:

nguồn

Chúng tôi sử dụng sin trong nhiều ứng dụng vì nó có ý nghĩa nhất trong các ứng dụng đó. Chẳng hạn, tại sao chúng ta hầu như luôn phân tách tín hiệu âm thanh thành các hình sin? Bởi vì ốc tai của chúng tôi làm điều tương tự:

Lý do chính cho điều đó là một loạt các cosin và sin tạo thành một cơ sở trực giao. Sau đó, bạn có thể sử dụng nó để thể hiện nó trong "không gian" khác (ví dụ "không gian" tần số).

Những thứ khác, chỉ để hiểu những thứ khác liên quan đến loạt Fourier và Tranform:

Một sin hoặc cos chỉ là 2 hàm delta trong biểu diễn tần số (Biến đổi Fourier). Một chức năng chỉnh lưu, có một biểu diễn chức năng đồng bộ hóa (điều đó hoàn toàn lấp đầy tất cả các spectra).

Sau đó, bằng cách sử dụng biểu diễn Fourier theo tần số, bạn có thể dễ dàng diễn giải các thành phần tần số của tín hiệu của mình và lọc theo đó.

Một điều khác để hiểu rõ hơn về việc sử dụng các hệ số Fourier, là để hiểu mối quan hệ giữa biến đổi Fourier và các hệ số đó ( Giải thích1 , Giải thích2 ).

Chúng tôi sử dụng chuỗi Fourier cho các chức năng định kỳ và Biến đổi Fourier cho mọi thứ.

Xin lỗi tôi có một vấn đề định dạng, vì vậy tôi đang đặt nó ở bài dưới cùng.

Phương pháp của tôi là như vậy:

Giả sử chúng ta có một xung định kỳ $x(t)$ như vậy mà $x(t) = 1$ cho $0 < t< T$ và $0$ cho $T < t < Tp$; do đó$x(t)$ có một khoảng thời gian $Tp$.

Tìm hệ số phạm vi $Ck$ thông qua:

và do đó chúng ta có thể đại diện $x(t)$ như:

và thực hiện chuyển đổi fourier, chúng ta sẽ có được hình thức này:

đó là rời rạc.

Tuy nhiên nếu chúng ta coi x (t) là dạng này:

Áp dụng biến đổi fourier của x (t) để có được (dưới dạng):

trong đó chân thành () là do FT của trực tràng và $e^{(-j*W)}$ đi ra do tài sản thay đổi thời gian của FT.

So sánh $X(f)$ trong (1) và (2), chúng ta thấy rằng 1 là rời rạc và liên tục khác.

Tuy nhiên họ đến từ cùng $x(t)$Vì vậy, đây không phải là một mâu thuẫn?

Xin lôi vi bai đăng dai.