Sự khác biệt giữa biến đổi phạm vi thời gian rời rạc và biến đổi phạm vi rời rạc

Tôi đã đọc nhiều bài viết về DTFT và DFT nhưng không thể nhận ra sự khác biệt giữa hai điều này ngoại trừ một vài điều có thể nhìn thấy như DTFT đi đến vô tận trong khi DFT chỉ đến N-1. Bất cứ ai có thể xin vui lòng giải thích sự khác biệt và khi sử dụng những gì? Wiki nói

DFT khác với biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) ở chỗ các chuỗi đầu vào và đầu ra của nó đều hữu hạn; do đó, nó được gọi là phân tích Fourier của các hàm thời gian rời rạc hữu hạn (hoặc định kỳ).

Có phải đó là sự khác biệt duy nhất?

Chỉnh sửa: Bài viết này giải thích độc đáo sự khác biệt

Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) là biến đổi Fourier (thông thường) của tín hiệu thời gian rời rạc. Đầu ra của nó là liên tục trong tần số và định kỳ. Ví dụ: để tìm phổ của phiên bản được lấy mẫu của tín hiệu thời gian liên tục x ( t ) có thể sử dụng DTFT.$x(kT)$$x(t)$

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) có thể được xem là phiên bản được lấy mẫu (trong miền tần số) của đầu ra DTFT. Nó được sử dụng để tính phổ tần số của tín hiệu thời gian rời rạc với máy tính, bởi vì máy tính chỉ có thể xử lý một số lượng giá trị hữu hạn. Tôi sẽ tranh luận về việc đầu ra DFT là hữu hạn. Nó là định kỳ là tốt và do đó có thể được tiếp tục vô tận.

Tóm lại:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Một tài sản toán học của DFT là cả đầu vào và đầu ra của nó là định kỳ với độ dài DFT . Đó là, mặc dù vectơ đầu vào của DFT là hữu hạn trong thực tế, nhưng chỉ đúng khi nói rằng DFT là phổ được lấy mẫu nếu đầu vào DFT được cho là định kỳ.$N$

được rồi, tôi sẽ trả lời điều này với một lập luận rằng "đối thủ" với vị trí giống như nazi cứng nhắc của tôi về DFT có.

trước hết, vị trí cứng nhắc, giống như nazi của tôi : Sê-ri Fourier rời rạc và rời rạc là một và một. DFT ánh xạ một chuỗi vô hạn và tuần hoàn, $x[n]$ với chu kỳ $N$ trong miền "thời gian" sang một chuỗi vô hạn và định kỳ khác, $X[k]$ , một lần nữa với chu kỳ $N$ , trong miền "tần số". và iDFT ánh xạ lại. và chúng là "tiêm" hoặc "không thể đảo ngược" hoặc "một-một".

DFT:

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$$

iDFT:

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$$

về cơ bản nhất là DFT là gì. nó vốn dĩ là một thứ định kỳ hoặc tuần hoàn.

nhưng những người từ chối định kỳ muốn nói điều này về DFT. đó là sự thật, nó chỉ không thay đổi bất kỳ điều nào ở trên.

vì vậy, giả sử bạn có một chuỗi có độ dài hữu hạn $x[n]$ có độ dài $N$ và, thay vì định kỳ mở rộng nó (đó là những gì DFT vốn có), bạn nối thêm chuỗi có độ dài hữu hạn này với các số không vô hạn ở cả bên trái và bên phải. vì thế

$$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

bây giờ, chuỗi vô hạn không lặp lại này có DTFT:

DTFT: X ( e j ω ) = + ∞ Σ n = - ∞ x [ n ] e - j ω n

$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$là Z-transform của x [n]đánh giá trên vòng tròn đơn vịz=ekωcho vô sốthựcgiá trị củaω. bây giờ, nếu bạn đã mẫu mà DTFT X (ejω)tạiNđiểm cách đều nhau trên vòng tròn đơn vị, với một điểm mà tạiz=ekω=1, bạn sẽ nhận được$\hat{x}[n]$$z=e^{j\omega}$$\omega$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$$N$$z=e^{j\omega}=1$

$$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$$

$\hat{x}[n]$$N$$\hat{x}[n]$$0$$0 \le n \le N-1$$\hat{x}[n]$$x[n]$

Vì đầu ra DTFT là liên tục, nó không thể được xử lý với máy tính. Vì vậy, chúng ta phải chuyển đổi tín hiệu liên tục này thành dạng rời rạc. Không có gì ngoài DFT như một sự tiến bộ hơn nữa trên FFT để giảm bớt các tính toán.

Nếu tôi đúng, ngay cả khi đầu vào DFT là định kỳ, mặc dù số lượng mẫu là hữu hạn, toán học đằng sau nó coi nó là một chuỗi vô hạn định kỳ bắt đầu các Nmẫu sau khi kết thúc. Xin hãy sửa tôi nếu tôi sai.

DFT:

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$$ $$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$$