Bạn cũng có thể tính gần đúng hàm căn bậc hai bằng cách sử dụng Phương pháp của Newton . Phương pháp của Newton là một cách gần đúng nơi gốc rễ của một hàm. Nó cũng là một phương pháp lặp trong đó kết quả từ lần lặp trước được sử dụng trong lần lặp tiếp theo cho đến khi hội tụ. Phương trình của phương pháp Newton để đoán vị trí gốc của hàm với dự đoán ban đầu được định nghĩa là:f(x)x0
x1=x0−f(x0)f′(x0)
x1 là dự đoán đầu tiên về vị trí của gốc. Chúng tôi tiếp tục tái chế phương trình và sử dụng kết quả từ các lần lặp trước cho đến khi câu trả lời không thay đổi. Nói chung, để xác định dự đoán gốc ở lần lặp , đưa ra dự đoán tại lần lặp được định nghĩa là:(n+1)n
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
Để sử dụng phương pháp của Newton để tính gần đúng cho căn bậc hai, giả sử rằng chúng ta được cung cấp một số . Như vậy, để tính căn bậc hai, chúng ta cần tính Như vậy, chúng ta tìm cách tìm một câu trả lời sao cho . Bình phương cả hai cạnh và di chuyển sang phía bên kia của phương trình mang lại . Như vậy, câu trả lời cho phương trình này là và do đó là gốc của hàm. Như vậy, hãy để là phương trình chúng ta muốn tìm gốc của. Bằng cách thay thế điều này vào phương pháp của Newton, và do đó:aa−−√x=a−−√ax2−a=0a−−√f(x)=x2−af′(x)=2x
xn+1=xn−x2n−a2xn
xn+1=12(xn+axn)
Do đó, để tính căn bậc hai của , chúng ta chỉ cần tính toán phương pháp của Newton cho đến khi chúng ta hội tụ. Tuy nhiên, như được lưu ý bởi @ robertbristow-johnson, bộ phận là một hoạt động rất tốn kém - đặc biệt đối với các bộ vi điều khiển / DSP với nguồn lực hạn chế. Ngoài ra, có thể có trường hợp đoán có thể bằng 0, dẫn đến lỗi chia cho 0 do thao tác chia. Như vậy, những gì chúng ta có thể làm là sử dụng phương pháp của Newton và giải quyết cho hàm đối ứng thay vào đó, tức là . Điều này cũng tránh bất kỳ phân chia, như chúng ta sẽ thấy sau. Bình phương cả hai bên và di chuyển sang bên trái, do đó sẽ cho . Do đó, giải pháp cho vấn đề này sẽ làa1x=a−−√a−−√1x2−a=01a√ . Bằng cách nhân với , chúng ta sẽ có được kết quả như mong muốn. Một lần nữa, sử dụng phương pháp của Newton, do đó chúng ta có:a
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
xn+1=xn−1(xn)2−a−2(xn)3
xn+1=12(3xn−(xn)3a)
Tuy nhiên, có một cảnh báo mà chúng ta nên xem xét khi nhìn vào phương trình trên. Đối với căn bậc hai, giải pháp phải dương và vì vậy để các lần lặp (và kết quả) là dương, điều kiện sau phải được thỏa mãn:
3 x n > ( x n ) 3 a ( x n ) 2 a < 3
3xn−(xn)3a>0
3xn>(xn)3a
(xn)2a<3
Vì thế:
(x0)2a<3
Do đó, với số lượng chúng tôi muốn tính căn bậc hai, dự đoán ban đầu phải thỏa mãn điều kiện trên. Vì điều này cuối cùng sẽ được đặt trên một vi điều khiển, chúng ta có thể bắt đầu với bất kỳ giá trị nào của (giả sử 1), sau đó tiếp tục lặp và giảm giá trị của cho đến khi điều kiện trên được thỏa mãn. Lưu ý rằng tôi đã tránh thực hiện phép chia để tính trực tiếp giá trị củax 0 x 0 10 - 6x0x0x0nên như phân chia là một hoạt động đắt tiền. Khi chúng ta có dự đoán ban đầu, hãy lặp lại thông qua phương pháp của Newton. Lưu ý rằng tùy thuộc vào dự đoán ban đầu, có thể mất một khoảng thời gian ngắn hơn hoặc dài hơn để hội tụ. Tất cả phụ thuộc vào mức độ gần gũi của bạn với câu trả lời thực tế. Bạn có thể giới hạn số lần lặp hoặc đợi cho đến khi chênh lệch tương đối giữa hai gốc nhỏ hơn một số ngưỡng (như hoặc hơn).10−6
Vì thẻ của bạn đang tìm kiếm một thuật toán C, hãy viết một cách nhanh chóng:
#include <stdio.h> // For printf
#include <math.h> // For fabs
void main()
{
float a = 5.0; // Number we want to take the square root of
float x = 1.0; // Initial guess
float xprev; // Root for previous iteration
int count; // Counter for iterations
// Find a better initial guess
// Half at each step until condition is satisfied
while (x*x*a >= 3.0)
x *= 0.5;
printf("Initial guess: %f\n", x);
count = 1;
do {
xprev = x; // Save for previous iteration
printf("Iteration #%d: %f\n", count++, x);
x = 0.5*(3*xprev - (xprev*xprev*xprev)*a); // Find square root of the reciprocal
} while (fabs(x - xprev) > 1e-6);
x *= a; // Actual answer - Multiply by a
printf("Square root is: %f\n", x);
printf("Done!");
}
Đây là một triển khai khá cơ bản của phương pháp Newton. Lưu ý rằng tôi tiếp tục giảm một nửa dự đoán ban đầu cho đến khi điều kiện chúng ta nói trước đó được thỏa mãn. Tôi cũng đang cố gắng tìm căn bậc hai của 5. Chúng tôi biết rằng điều này gần bằng với 2.236 hoặc hơn. Sử dụng mã trên cho đầu ra sau:
Initial guess: 0.500000
Iteration #1: 0.500000
Iteration #2: 0.437500
Iteration #3: 0.446899
Iteration #4: 0.447213
Square root is: 2.236068
Done!
Lưu ý rằng phương pháp của Newton là tìm giải pháp của giải pháp đối ứng và chúng tôi nhân với kết thúc để có câu trả lời cuối cùng. Ngoài ra, hãy lưu ý rằng dự đoán ban đầu đã được thay đổi để đảm bảo rằng các tiêu chí tôi đã nói ở trên được thỏa mãn. Để giải trí, chúng ta hãy thử tìm căn bậc hai của 9876.a
Initial guess: 0.015625
Iteration #1: 0.015625
Iteration #2: 0.004601
Iteration #3: 0.006420
Iteration #4: 0.008323
Iteration #5: 0.009638
Iteration #6: 0.010036
Iteration #7: 0.010062
Square root is: 99.378067
Done!
Như bạn có thể thấy, điều duy nhất khác biệt là có bao nhiêu lần lặp được yêu cầu để tính căn bậc hai. Số lượng những gì bạn muốn tính toán càng cao, càng nhiều lần lặp lại.
Tôi biết rằng phương pháp này đã được đề xuất trong một bài viết trước đó, nhưng tôi đoán rằng tôi đã rút ra được phương pháp cũng như cung cấp một số mã!