Tìm biến đổi z của cho và 0 cho

Vì vậy, tôi đang cố gắng quyết định xem phần cosin có được cắm vào hay không hay đó có phải là một phần của . (số a nằm trong đĩa đơn vị mở)$z$$h[n]$

Ý tôi là tôi khá chắc chắn rằng đó là một phần của nhưng sau đó khi thực hiện biến đổi z tôi có được hàm hợp lý này$h[n]$

$$\frac{1 - a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1}}{1-2a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1} + a^2z^{-2}}$$

Sau đó, tôi phải đánh giá các cực và số không và nếu bạn bỏ qua các phần cosin, bạn sẽ có biểu thức hợp lý thực sự tốt này, yếu tố và đơn giản hóa thành . $\displaystyle\frac{z}{z-a}$

Vì vậy, điều đó khiến tôi nghĩ rằng có lẽ tôi không hiểu chính xác mọi thứ và phần cosin được cho là được cắm vào hoặc một cái gì đó. Bất cứ ai có thể làm rõ điều này cho tôi?$z$

Tín hiệu miền thời gian (hoặc đáp ứng xung)

$$h(n)=a^{n}\cos n\theta_0,\quad \theta_0=2\pi\frac{f_0}{f_s},\; n\ge 0$$

là rất phổ biến: đó là một hàm hình sin bị suy giảm (giả sử ) xảy ra thường xuyên, bởi vì đó là một phản ứng có thể có của hệ thống bất biến thời gian tuyến tính bậc hai. Vì vậy, liên quan đến nghi ngờ của bạn, phần cosine chắc chắn là một phần của tín hiệu miền thời gian. Các cực và số không có thể được tìm thấy bằng cách viết lại :$|a|<1$$H(z)$

$$\begin{align}H(z)&=\frac{1-az^{-1}\cos \theta_0}{1-2az^{-1}\cos\theta_0+a^2z^{-2}}\\&= \frac{z(z-a\cos \theta_0)}{z^2-2az\cos\theta_0+a^2}\end{align}\tag{1}$$

Từ (1) dễ dàng xác định các số không của : $H(z)$

$$z_{0,0}=0\quad z_{0,1}=a\cos\theta_0$$

Để xác định các cực, chúng ta viết dưới dạng mở rộng một phần:$H(z)$

$$H(z)=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{1-ae^{j\theta_0}z^{-1}} + \frac{1}{1-ae^{-j\theta_0}z^{-1}} \right ]\tag{2}$$

Từ (2) chúng ta thấy rằng các cực được cho bởi Chúng ta có các cực liên hợp phức tạp bởi vì có giá trị thực. Giả sử là một đáp ứng xung, chúng ta có thể thấy từ các cực mà hệ thống ổn định nếu vì khi đó các cực nằm trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng phức.

$$z_{\infty,0}=ae^{j\theta_0}\quad z_{\infty,1}=ae^{-j\theta_0}$$ $h(n)$$h(n)$$|a|<1$

Biến đổi Z của sẽ là: Hy vọng nó hữu ích$x(n) = a^ncos(nθ)u(n)...$