Tôi sẽ trả lời câu hỏi 2 trước, và hy vọng điều đó sẽ giúp giải thích những gì đang xảy ra với câu hỏi 1.
Khi bạn lấy mẫu tín hiệu băng cơ sở, có các bí danh ngầm định của tín hiệu dải cơ sở tại tất cả các bội số nguyên của tần số lấy mẫu, như trong hình bên dưới.
Hình ảnh rắn là tín hiệu băng cơ sở ban đầu và các bí danh được thể hiện bằng các hình ảnh nét đứt. Tôi đã chọn một tín hiệu giả định (nghĩa là phức tạp) để giúp chứng minh sự đảo ngược xảy ra ở bội số lẻ của tần số lấy mẫu.
Bạn có thể hỏi, "Các bí danh có thực sự tồn tại không?" Đó là một chút của một câu hỏi triết học. Vâng, theo nghĩa toán học, chúng tồn tại, bởi vì tất cả các bí danh (bao gồm cả tín hiệu băng cơ sở) không thể phân biệt được với nhau.
Khi bạn lấy mẫu bằng cách chèn các số 0 ở giữa các mẫu ban đầu, bạn sẽ tăng tốc độ lấy mẫu một cách hiệu quả bằng tốc độ lấy mẫu. Vì vậy, nếu bạn lấy mẫu theo hệ số hai (đặt một số 0 ở giữa mỗi mẫu), bạn sẽ tăng tỷ lệ lấy mẫu và tỷ lệ Nyquist theo hệ số 2, dẫn đến hình dưới đây.
Như bạn có thể thấy, một trong những bí danh ngầm trong hình ảnh trước đó giờ đã trở nên rõ ràng. Nếu bạn FFT các mẫu nó sẽ hiển thị. Một bằng chứng không nghiêm ngặt rằng biến đổi DFT không thay đổi về cơ bản được đưa ra dưới đây.
Bây giờ bạn đã có hai bí danh rõ ràng, nếu bạn chỉ muốn bí danh cơ sở thì bạn phải lọc bộ lọc thông thấp để loại bỏ các bí danh khác. Đôi khi, mặc dù, mọi người sử dụng các bí danh khác để thực hiện điều biến cho họ. Trong trường hợp đó, bạn sẽ lọc cao để loại bỏ tín hiệu băng cơ sở. Tôi hy vọng rằng câu trả lời câu hỏi 2.
Câu hỏi 1 về cơ bản là nghịch đảo của câu hỏi 2. Giả sử rằng bạn đã ở trong tình huống hiển thị trong bức tranh thứ hai. Có hai cách để có được tín hiệu băng cơ sở mà bạn muốn. Cách đầu tiên là lọc bộ lọc thông thấp (từ đó loại bỏ bí danh cao hơn) và sau đó giảm dần theo hệ số hai. Điều đó đưa bạn đến hình ảnh # 1.
Cách thứ hai là lọc bộ lọc thông cao (loại bỏ bí danh dải cơ sở) và sau đó giảm dần theo hệ số hai. Lý do mà điều này hoạt động là vì bạn đang cố tình đặt bí danh tín hiệu vào dải cơ sở, do đó, một lần nữa, đưa bạn đến hình ảnh số 1.
Tại sao bạn muốn làm theo cách đó? Bởi vì trong hầu hết các tình huống, các tín hiệu sẽ không giống nhau, vì vậy bạn có thể chọn tín hiệu nào bạn muốn hoặc thực hiện cả hai tín hiệu riêng biệt.
Nếu bạn đang nghiên cứu xử lý đa tốc độ, tôi khuyên bạn nên nhận "Xử lý tín hiệu đa biến cho các hệ thống truyền thông" của Frederic Harris. Anh ấy làm một công việc thực sự tốt để giải thích lý thuyết mà không bỏ qua toán học, và cũng đưa ra rất nhiều lời khuyên thực tế.
EDIT: Cố ý lấy mẫu một tín hiệu nhỏ hơn tỷ lệ Nyquist được gọi undersampling . Sau đây là nỗ lực của tôi trong việc giải thích về mặt toán học tại sao FFT không thay đổi khi bạn lấy mẫu. "x [n]" là tập hợp mẫu ban đầu, "u" là hệ số lấy mẫu và "x '[n]" là tập hợp các mẫu được ghép lại.
X[k]X′[k]==x===∑n=0N−1x[n]e−i2πkn/N∑n=0uN−1x′[n]e−i2πkn/uN,{′[n]=x[n/u],n=mu∑n=0N−1x′[un]e−i2πkun/uN∑n=0N−1x[n]e−i2πkn/NX[k]x′[n]=0,n≠mu,m∈(0..N−1)
Xin lỗi vì định dạng xấu xí. Tôi là một người mới của LaTex.
EDIT 2: Tôi nên chỉ ra rằng các DFT của x [n] và x '[n] không thực sự giống hệt nhau. Tỷ lệ mẫu cao hơn, như tôi đã giải thích trong phần trước của câu trả lời, khiến bí danh bị "phơi bày". Tôi đã cố gắng chỉ ra theo cách phi toán học của tôi rằng các DFT, ngoài tỷ lệ mẫu là như nhau.
