Tại sao DFT giả định tín hiệu biến đổi là định kỳ?

Trong nhiều sách xử lý tín hiệu, người ta cho rằng DFT giả định tín hiệu biến đổi là định kỳ (và đây là lý do tại sao rò rỉ quang phổ chẳng hạn có thể xảy ra).

Bây giờ, nếu bạn nhìn vào định nghĩa của DFT, đơn giản là không có giả định đó. Tuy nhiên, trong bài viết trên Wikipedia về biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT), đã nói rằng

Khi chuỗi dữ liệu đầu vào $x[n]$ là $N$ periodic, Eq.2 có thể được giảm tính toán thành một biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

• Vì vậy, giả định này có bắt nguồn từ DTFT không?
• Trên thực tế, khi tính toán DFT, trên thực tế tôi có đang tính toán DTFT với giả định rằng tín hiệu là định kỳ không?

Đã có một số câu trả lời tốt, nhưng tôi vẫn cảm thấy muốn thêm một lời giải thích khác, bởi vì tôi coi chủ đề này cực kỳ quan trọng đối với sự hiểu biết về nhiều khía cạnh của xử lý tín hiệu số.

Trước hết, điều quan trọng là phải hiểu rằng DFT không 'giả định' tính định kỳ của tín hiệu được chuyển đổi. DFT được áp dụng đơn giản cho tín hiệu hữu hạn có độ dài và các hệ số DFT tương ứng được xác định bởi$N$

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N},\quad k=0,1,\ldots,N-1\tag{1}$$

Từ (1) rõ ràng là chỉ các mẫu của trong khoảng [ 0 , N - 1 ] được xem xét, do đó không có tính định kỳ được giả định. Mặt khác, các hệ số X [ k ] có thể được hiểu là hệ số Fourier của sự tiếp tục định kỳ của tín hiệu x [ n ] . Điều này có thể được nhìn thấy từ biến đổi nghịch đảo$x[n]$$[0,N-1]$$X[k]$$x[n]$

$$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi nk/N}\tag{2}$$

mà tính một cách chính xác trong khoảng [ 0 , N - 1 ] , nhưng nó cũng sẽ tính toán tiếp tục định kỳ bên ngoài khoảng thời gian này vì phía bên tay phải của (2) là tuần hoàn với chu kỳ N . Thuộc tính này vốn có trong định nghĩa của DFT, nhưng nó không cần phải làm phiền chúng tôi vì thông thường chúng tôi chỉ quan tâm đến khoảng [ 0 , N - 1 ] .$x[n]$$[0,N-1]$$N$$[0,N-1]$

Xem xét DTFT của $x[n]$

$$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}\tag{3}$$

chúng ta có thể nhìn thấy bằng cách so sánh (3) với (1), rằng nếu là một hữu hạn chuỗi trong khoảng [ 0 , N - 1 ] , các hệ số DFT X [ k ] là mẫu của DTFT X ( ω ) :$x[n]$$[0,N-1]$$X[k]$$X(\omega)$

$$X[k]=X(2\pi k/N)\tag{4}$$

Vì vậy, một cách sử dụng DFT (nhưng chắc chắn không phải là duy nhất) là để tính toán các mẫu của DTFT. Nhưng điều này chỉ hoạt động nếu tín hiệu cần phân tích có độ dài hữu hạn . Thông thường tín hiệu chiều dài hữu hạn này được xây dựng bằng cách hiển thị tín hiệu dài hơn. Và chính cửa sổ này gây ra rò rỉ quang phổ.

Như một lưu ý cuối cùng, lưu ý rằng DTFT của sự tiếp tục định kỳ của chuỗi hữu hạn x [ n ] có thể được biểu thị theo các hệ số DFT của x [ n ] :$\tilde{x}[n]$$x[n]$$x[n]$

˜ X (ω)=2

$$\tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[n-kN]\tag{5}$$ $$\tilde{X}(\omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{6}$$

EDIT: Thực tế là và ˜ X ( ω ) được đưa ra ở trên là một cặp biến đổi DTFT có thể được hiển thị như sau. Đầu tiên lưu ý rằng DTFT của lược xung thời gian rời rạc là lược Dirac:$\tilde{x}[n]$$\tilde{X}(\omega)$

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\Longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{7}$$

Chuỗi có thể được viết như chập của x [ n ] với một chiếc lược xung:$\tilde{x}[n]$$x[n]$

$$\tilde{x}[n]=x[n]\star \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\tag{8}$$

Kể từ tương ứng với phép nhân chập trong lĩnh vực DTFT, các DTFT của ~ x [ n ] được đưa ra bởi các nhân của X ( ω ) với một cái lược Dirac:$\tilde{X}(\omega)$$\tilde{x}[n]$$X(\omega)$

$$\begin{align}\tilde{X}(\omega)&=X(\omega)\cdot\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\\&=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/N)\delta(\omega-2\pi k/N)\end{align}\tag{9}$$

Kết hợp với ( 4 ) sẽ tạo ra kết quả ( 6 ) .$(9)$$(4)$$(6)$

Nó xuất phát từ định nghĩa của tín hiệu miền thời gian:

$$x \left[ n \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X \left[ k \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$$

Bạn có thể thấy theo định nghĩa rằng $x \left[ n \right] = x \left[ n + N \right]$ .
Mặt khác, DFT tái cấu trúc hoàn hảo các mẫu N của tín hiệu.
Do đó bạn có thể kết luận nó giả định việc tiếp tục định kỳ của nó.

Một quan điểm khác sẽ xem DFT là Sê-ri Fourier rời rạc hữu hạn (Thực tế là, hãy xem Sê-ri Fourier rời rạc - DFS ), trong đó tất nhiên chỉ ra rằng tín hiệu là định kỳ (Tổng hợp các tín hiệu có chu kỳ $T$ là một tín hiệu có chu kỳ $T$ ).

Đó là một giả định không cần thiết (và thường là sai). DFT chỉ là một biến đổi cơ bản của một vectơ hữu hạn.

Các vectơ cơ sở của DFT tình cờ là các đoạn của các hàm tuần hoàn có thể mở rộng vô hạn. Nhưng không có gì định kỳ về đầu vào hoặc kết quả DFT trừ khi bạn mở rộng các vectơ cơ sở bên ngoài khẩu độ DFT. Nhiều hình thức phân tích tín hiệu không yêu cầu bất kỳ phần mở rộng hoặc giả định nào bên ngoài cửa sổ được lấy mẫu hoặc vectơ dữ liệu hữu hạn.

Bất kỳ tạo tác "rò rỉ" nào cũng có thể được giả định là từ một tổ hợp của cửa sổ hình chữ nhật mặc định với tín hiệu không phải là định kỳ hoặc không xác định định kỳ hoặc ổn định. Điều này có ý nghĩa hơn nhiều khi phân tích các cửa sổ FFT chồng chéo, trong đó mọi giả định về tính tuần hoàn bên ngoài bất kỳ cửa sổ DFT hoặc FFT nào có thể không phù hợp với dữ liệu trong các cửa sổ khác.

Tính tuần hoàn có thể làm cho phép toán liên quan đến DFT với DTFT dễ xử lý hơn. Nhưng bất kỳ mối quan hệ nào với DTFT có thể hoặc không cần thiết khi thực sự sử dụng FFT để xử lý tín hiệu (tùy thuộc vào chính xác các thuộc tính biến đổi Fourier nào là cần thiết để phân tích thêm phương pháp xử lý).

Ok, câu trả lời của tôi sẽ hơi khác so với các câu trả lời khác. câu trả lời của tôi chấp nhận tiền đề của câu hỏi hơn là phủ nhận tiền đề của câu hỏi.

Lý do mà DFT "giả sử" tín hiệu đầu vào (tín hiệu được chuyển đổi, điều tôi giả sử OP có nghĩa là "tín hiệu được chuyển đổi") là do định kỳ là do DFT phù hợp với tập hợp các hàm cơ bản cho tín hiệu đầu vào đó, tất cả đều là định kỳ.

xem xét một tập hợp các hàm cơ bản khác nhau:

$$g_k(u) \triangleq u^k \quad \quad 0 \le k < N$$

và đưa ra mẫu đầu vào:$N$

$$x[n] \quad \quad 0 \le n < N$$

chúng ta có thể điều chỉnh tổng tuyến tính của các hàm cơ bản cho chuỗi đầu vào$g_k(n)$

$$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] n^k \\ \end{align}$$

với sự lựa chọn hợp lý của các hệ số . tính toán tất cả X [ k $X[k]$$X[k]$$N$$N$

$N$$X[k]$$0 \le k \le N-1$$(N-1)$$x[n]$$n$$0 \le n \le N-1$

$0 \le n \le N-1$ $n$$(N-1)$$n$$x[n]$

Vì vậy, bây giờ, với DFT, chúng tôi đang điều chỉnh một tập hợp các hàm cơ bản khác nhau cho chuỗi đầu vào của chúng tôi:

$$g_k(u) \triangleq \frac{1}{N} e^{+j 2 \pi k u/N} \quad \quad 0 \le k < N$$

$$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{+j2\pi n k/N} \\ \end{align}$$

$X[k]$

$$X[k] = \sum\limits^{N-1}_{n=0} x[n] \ e^{-j2\pi n k/N}$$

vị trí của nó $\frac{1}{N}$là một vấn đề của quy ước. tôi đang đặt nó ở nơi mà hầu hết các tài liệu đặt$\frac{1}{N}$hệ số. nó có thể được gỡ bỏ khỏi$x[n]$ phương trình và đưa vào $X[k]$phương trình, thay vào đó. hoặc "một nửa" của nó ($\sqrt{\frac{1}{N}}$) có thể được đặt với cả hai phương trình. đó chỉ là vấn đề quy ước.

nhưng ở đây chúng ta đang lắp một tập hợp các hàm cơ bản, tất cả đều theo chu kỳ $N$ đến bản gốc $x[n]$. vì vậy ngay cả khi$x[n]$ đến từ một chuỗi dài hơn không phải là định kỳ, DFT đang xem xét rằng $x[n]$là tổng của một loạt các hàm cơ bản, mỗi hàm theo chu kỳ$N$. nếu bạn thêm một loạt các hàm tuần hoàn, tất cả đều có cùng một khoảng thời gian, thì tổng cũng phải là định kỳ với cùng một khoảng thời gian.

DFT là rời rạc. DTFT là liên tục. Chúng ta có thể lấy DFT từ DTFT bằng cách lấy mẫu nó với chuỗi xung đúng thời gian, điều này thực sự tương đương với nhân nó với chuỗi xung. Phép nhân trong miền biến đổi bằng với tích chập trong miền thời gian rời rạc, điều này hàm ý tính tuần hoàn của tín hiệu.

Chỉ DFT là thực tế trong thế giới kỹ thuật số rời rạc vì giả định định kỳ trên cả hai lĩnh vực. (Nếu bạn gọi nó như vậy.) Bởi vì tín hiệu không định kỳ trên một miền gây ra tín hiệu liên tục trên miền kia và bạn chỉ có thể lưu trữ tín hiệu rời rạc trong bộ nhớ kỹ thuật số. Vì vậy, bạn cần giả sử các tín hiệu là định kỳ trên cả hai miền để làm cho nó rời rạc trên cả hai miền.

Khi bạn tính toán DTFT, bạn nhận được tín hiệu liên tục trong miền tần số làm đầu ra.
Tôi không nghĩ bạn sẽ sử dụng quy trình tương tự khi bạn tính toán DFT trong thực tế. Khi bạn thực sự tính toán cả DTFT và DFT, bạn sẽ hiểu rằng cả hai phép tính biến đổi là những câu chuyện khác nhau.

Vì tín hiệu là định kỳ, tín hiệu thay đổi thời gian không làm thay đổi cường độ tuyệt đối của miền tần số.

$$X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$$

$${e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n - D \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}{e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}$$

Nhân tiện, không có gì ngăn bạn lấy FFT của tín hiệu không định kỳ, nhưng có rất ít sử dụng thực tế nếu không có biến đổi nào hoạt động.