Cách nhanh chóng / hiệu quả để phân tách các hệ số bộ lọc 2D nguyên có thể tách rời

Tôi muốn có thể nhanh chóng xác định xem một hạt nhân 2D có các hệ số nguyên có thể tách rời thành hai hạt nhân 1D với các hệ số nguyên hay không. Ví dụ

 2   3   2
 4   6   4
 2   3   2

có thể tách thành

 2   3   2

và

 1
 2
 1

Thử nghiệm thực tế về khả năng phân tách dường như khá đơn giản khi sử dụng số học số nguyên, nhưng việc phân tách thành các bộ lọc 1D với các hệ số nguyên đang chứng tỏ là một vấn đề khó khăn hơn. Khó khăn dường như nằm ở chỗ các tỷ lệ giữa các hàng hoặc cột có thể không phải là số nguyên (phân số hợp lý), ví dụ trong ví dụ trên, chúng ta có các tỷ lệ 2, 1/2, 3/2 và 2/3.

Tôi thực sự không muốn sử dụng một cách tiếp cận nhiệm vụ nặng nề như SVD bởi vì (a) nó tương đối tốn kém về mặt tính toán cho nhu cầu của tôi và (b) nó vẫn không nhất thiết giúp xác định các hệ số nguyên .

Có ý kiến ​​gì không?

THÊM THÔNG TIN

Các hệ số có thể dương, âm hoặc bằng 0 và có thể có các trường hợp bệnh lý trong đó tổng của một hoặc cả hai vectơ 1D bằng 0, ví dụ

-1   2  -1
 0   0   0
 1  -2   1

có thể tách thành

 1  -2   1

và

-1
 0
 1

Tôi đã đưa ra @Phononcâu trả lời và sửa đổi nó một chút để nó sử dụng cách tiếp cận GCD ở hàng trên cùng và cột bên trái, thay vì tổng các hàng / cột. Điều này dường như để xử lý các trường hợp bệnh lý tốt hơn một chút. Nó vẫn có thể thất bại nếu hàng trên cùng hoặc cột bên trái là tất cả các số 0, nhưng những trường hợp này có thể được kiểm tra trước khi áp dụng phương pháp này.

function [X, Y, valid] = separate(M)    % separate 2D kernel M into X and Y vectors 
  X = M(1, :);                          % init X = top row of M
  Y = M(:, 1);                          % init Y = left column of M
  nx = numel(X);                        % nx = no of columns in M
  ny = numel(Y);                        % ny = no of rows in M
  gx = X(1);                            % gx = GCD of top row
  for i = 2:nx
    gx = gcd(gx, X(i));
  end
  gy = Y(1);                            % gy = GCD of left column
  for i = 2:ny
    gy = gcd(gy, Y(i));
  end
  X = X / gx;                           % scale X by GCD of X
  Y = Y / gy;                           % scale Y by GCD of Y
  scale = M(1, 1) / (X(1) * Y(1));      % calculate scale factor
  X = X * scale;                        % apply scale factor to X
  valid = all(all((M == Y * X)));       % result valid if we get back our original M
end

Rất cám ơn @Phononvà @Jason Rcho những ý tưởng ban đầu cho việc này.

Hiểu rồi! Đăng mã MATLAB, sẽ đăng một lời giải thích tối nay hoặc ngày mai

% Two original arrays
N = 3;
range = 800;
a = round( range*(rand(N,1)-0.5) )
b = round( range*(rand(1,N)-0.5) )

% Create a matrix;
M = a*b;
N = size(M,1);

% Sanity check
disp([num2str(rank(M)) ' <- this should be 1!']);

% Sum across rows and columns
Sa = M * ones(N,1);
Sb = ones(1,N) * M;

% Get rid of zeros
SSa = Sa( Sa~=0 );
SSb = Sb( Sb~=0 );

if isempty(SSa) | isempty(SSb)
    break;
end

% Sizes of array without zeros
Na = numel(SSa);
Nb = numel(SSb);

% Find Greatest Common Divisor of Sa and Sb.
Ga = SSa(1);
Gb = SSb(1);

for l=2:Na
    Ga = gcd(Ga,SSa(l));
end

for l=2:Nb
    Gb = gcd(Gb,SSb(l));
end

%Divide by the greatest common divisor
Sa = Sa / Ga;
Sb = Sb / Gb;

%Scale one of the vectors
MM = Sa * Sb;
Sa = Sa * (MM(1) / M(1));

disp('Two arrays found:')
Sa
Sb
disp('Sa * Sb = ');
Sa*Sb
disp('Original = ');
M

Có thể tôi tầm thường hóa vấn đề, nhưng có vẻ như bạn có thể:

• $N$$M$$\mathbf{A}$$\mathbf{a_i}$$i = 0, 1, \ldots , N-1$

• $j > 0$

  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$ để xác định xem chúng có phải là hằng số không. Bạn sẽ cần cho phép một số dung sai trong so sánh này để cho phép làm tròn điểm nổi.
  • $\mathbf{r_j}$$\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$0$$\mathbf{x}$
  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$

• $\mathbf{x}$

• $\mathbf{x_{norm}}$ $$\mathbf{x_{scaled}} = K\mathbf{x_{norm}}, K = 1, 2, \ldots, M$$ $K$$M$

Không phải là phương pháp tao nhã nhất, và có khả năng là có một cách tốt hơn, nhưng nó nên hoạt động, khá đơn giản để thực hiện và nên tương đối nhanh đối với các ma trận có kích thước khiêm tốn.

$x \otimes y \otimes z$$A$$|A - x \otimes y \otimes z|$
$x\ y\ z$
$y$$z$$x$$x\ y\ z\ x\ y\ z\ ...$ lần lượt

(Từ gần đúng-một-tích chập-như-một-tổng-của-tách-kết luận trên math.stackexchange.)