Giải bài toán tích hợp tín hiệu 1D

Tôi đang gặp rắc rối khi cố gắng giải quyết bài tập này. Tôi phải tính toán tích chập của tín hiệu này:

y (t) = e^{- k t} u (t) \frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(π t)}

$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$

Trong đó $u(t)$ là hàm Heavyside

Tôi đã áp dụng công thức nói rằng tích chập của hai tín hiệu này bằng

Y (f) = X (f) \cdot W (f)

$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$

Trong đó $X(f)$ là biến đổi Fourier của tín hiệu thứ nhất và $W(f)$ là biến đổi Fourier của tín hiệu thứ hai

cũng biến đổi Fourier của $e^{-kt}u(t)$ là

X (f) = \frac{1}{k + j 2 π f}

$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$

Tôi phải làm cho tín hiệu thứ hai là bình đẳng càng tốt để $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

vì vậy tôi thực hiện thao tác này:

\frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(\frac{π t}{10})} (\frac{1}{10})

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$

(\frac{1}{10}) sinc (\frac{t}{10})

${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

đúng hay không?

— Mazzy
nguồn

Có vẻ đúng với tôi. Một cảnh báo - một số định nghĩa về sự chân thành bao gồm pi trong các tham số, như bạn đã làm, và một số giả định nó (nghĩa là họ sẽ viết chân thành (t / 10)). Một trong hai là tốt, miễn là bạn hiểu những gì bạn đang làm.

— Jim Clay

Y (f)

$Y(f)$

Mặc dù tôi nhận ra rằng đây là một câu trả lời rất muộn, tuy nhiên tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi này vì tôi thấy nó mang tính hướng dẫn và cũng vì số lượng upvote cho thấy câu hỏi này được cộng đồng quan tâm.

$x(t)$ $w(t)$

x (t) = e^{- k t} u (t), k > 0 w (t) = \frac{\sin (π t / 10)}{π t}

$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$

$(x*w)(t)$ $x(t)$ $w(t)$ $x(t)$

X (j ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- k t} e^{- j ω t} d t = \frac{1}{k + j ω}

$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$

$w(t)$ $\omega_0=2\pi f_0$

\begin{matrix} (1) & h_{L P} (t) = \frac{\sin ω_{0} t}{π t} \end{matrix}

$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$

$w(t)$ $w(t)$ $\omega_0=\pi/10$

W (j ω) = u (ω + ω_{0}) - u (ω - ω_{0})

$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$

u (ω)

$u(\omega)$

$y(t)=(x*w)(t)$ $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

y (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) W (j ω) e^{j ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{0}}^{ω_{0}} \frac{1}{k + j ω} e^{j ω t} d ω

$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$

$\text{Ei}(x)$ $\text{Si}(x)$ $\text{Ci}(x)$

$y(t)$ $k=0.05$ $\omega_0=\pi/10$ nhập mô tả hình ảnh ở đây

$x(t)$ $y(t)$ $y(t)$ $t<0$ $\omega_0=\pi$ $\pi/10$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

— Matt L
nguồn

Có lẽ một cách giải thích tốt hơn sẽ là một đầu vào chức năng chân thành được áp dụng cho bộ lọc thông thấp thứ tự đầu tiên có thể thực hiện được mà phản ứng xung là số mũ phân rã?

— Dilip Sarwate

Chắc chắn đó là một cách giải thích hợp lệ, nhưng tại sao tốt hơn? OK, hệ thống có thể được nhận ra nhưng không phải là tín hiệu đầu vào. Bộ lọc thông thấp lý tưởng là một hệ thống tiêu chuẩn thường được phân tích và sử dụng cho mục đích hướng dẫn mặc dù không thể thực hiện được. Dù sao, may mắn là kết quả vẫn như cũ :)

— Matt L.