Tại sao một số mũ âm hiện diện trong biến đổi Fourier và Laplace?

10

bất cứ ai cũng có thể giải thích tại sao cần có số mũ âm trong biến đổi vây và biến đổi. Tôi đã xem qua web nhưng tôi không thể nhận được bất cứ điều gì. Có bất cứ điều gì xảy ra nếu một số mũ dương được đặt trong các biến đổi này.

Trong khi xem qua http://1drv.ms/1tbV45S, nó nói rằng nếu nó sẽ trở thành một hàm giảm nhanh trong khi nếu thì nó trở thành một dấu chấm tăng nhanh chóng của tI không thể hiểu điều đó. $s>0$ $s<0$

fourier-transform laplace-transform

— chỉ
nguồn

5

Matt là chính xác rằng các dấu hiệu là quy ước. Tôi nghĩ rằng có một lý do cho nó ngoài đó mặc dù.

Nếu chúng ta nhìn vào các tần số phức trong mặt phẳng phức, chúng trông giống như một vectơ không đổi xoay theo hướng này hay hướng khác. Tần số dương quay ngược chiều kim đồng hồ, tần số âm xoay theo chiều kim đồng hồ và tần số "0 Hz" hoàn toàn không xoay.

Tần số dương

Biến đổi Fourier có dấu âm để cố ý xoay theo hướng ngược lại với tần số mà chúng đang "tìm kiếm".

Tần số âm

Lý do cho phép quay ngược lại là khi hai vectơ tần số được nhân lên, các pha của chúng sẽ liên tục bị hủy, do đó, khi các kết quả được tổng hợp lại với nhau sẽ có một vectơ lớn do tất cả các vectơ riêng lẻ xếp thành hàng.

X (f) = \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n) e^{- j 2 π k n / N}

$X(f) = \sum\limits_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}$

Vectơ tần số Fourier

Đây là cách biến đổi Fourier "trông" cho tần số. Nếu hai tần số giống nhau hoặc "đóng" (mức độ cần thiết của chúng phụ thuộc vào độ dài của DFT) thì chúng sẽ xếp hàng tốt và gây ra phản ứng lớn trong tổng kết. Tôi đã chỉ ra cách thức này hoạt động cho biến đổi Fourier rời rạc (DFT), nhưng lý do chính xác tương tự áp dụng cho biến đổi liên tục.

Hy vọng rằng điều này giải thích tại sao biến đổi Fourier sẽ muốn các vectơ quay theo hướng ngược lại. Thành thật mà nói, tôi không biết biến đổi Laplace đủ tốt để đưa ra lý lẽ vững chắc cho dấu hiệu tiêu cực của nó. Vì hai biến đổi có liên quan rất chặt chẽ với nhau (biến đổi Laplace là một khái quát của biến đổi Fourier), tôi cho rằng đó là vì những lý do tương tự.

— Jim Clay
nguồn

Một quan điểm khác là xem xét biến đổi nghịch đảo và cho rằng nó xuất hiện tự nhiên nhất để ghép tín hiệu thành một tổng (hoặc tích phân) của số mũ phức tạp (có dấu dương theo số mũ). Nhưng dù sao, sẽ không có thay đổi đáng kể nào xảy ra nếu quy ước ký hiệu được thay đổi.

— Matt L.

@MattL. Đồng ý cả hai tính.

— Jim Clay

@JimClay: Minh họa là tốt. Bạn có nói rằng vì sản phẩm chấm của vectơ bao gồm , nếu xoay ngược lại các vectơ sẽ cộng lại. Cho dù bạn đang nói về sản phẩm chéo. Tôi không thể hiểu điều gì bạn có nghĩa là "xoay ngược lại".

\cos θ

$\cos\theta$

— justin

@justin Tôi không chắc mà bạn đang nói đến từ đâu. Có lẽ bạn đang nhận được điều đó từ ? Ở bất kỳ giá nào, hình ảnh thứ hai có nghĩa là minh họa cho trong sản phẩm chéo biến đổi Fourier. Nó đang quay theo chiều kim đồng hồ trong mặt phẳng phức. Nói cách khác, mỗi mẫu là cùng pha với mẫu trước đó, trừ đi một số pha không đổi. Tần số thấp có độ lệch pha nhỏ, tần số cao có độ lệch pha lớn.

c o s θ

$cos\theta$

e^{j θ} = c o s (θ) + j * s i n (θ)

$e^{j\theta}=cos(\theta) + j*sin(\theta)$

e^{- j 2 π k n / N}

$e^{-j2\pi kn/N}$

— Jim Clay

@JimClay: Nhưng trong biến đổi Fourier, chúng ta có thực sự "thêm" từng tín hiệu hay "nhân" chúng không?

— justin

3

Đối với biến đổi Fourier, dấu của số mũ là quy ước thuần túy. Lưu ý rằng đối với biến đổi nghịch đảo, bạn có dấu dương trong số mũ. Bạn cũng có thể định nghĩa biến đổi Laplace với dấu dương theo số mũ. Trong mọi trường hợp, bạn muốn giảm xóc theo hàm mũ của hàm miền thời gian được chuyển đổi, vì vậy phần thực của số mũ phức tạp nên âm. Nếu bạn thay đổi thành thì vùng hội tụ của biến đổi Laplace đơn phương sẽ thay đổi từ thành đối với một hằng số có giá trị thực . $s$ $-s$ $\Re\{s\}>a$ $\Re\{s\}<a$ $a$

— Matt L
nguồn

Tôi đã cập nhật bài viết. Có thể bạn nhìn vào nó.

— justin

@justin: Tích phân là . Với bạn nhận được . Với bạn nhận được giảm xóc theo cấp số nhân của (với ). Mặt khác, bạn sẽ nhận được một yếu tố tăng theo cấp số nhân có thể làm cho phân kỳ tích phân.

f (t) e^{- s t}

$f(t)e^{-st}$

s = σ + j ω

$s=\sigma+j\omega$

f (t) e^{- σ t} e^{- j ω t}

$f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}$

σ > 0

$\sigma>0$

f (t)

$f(t)$

t > 0

$t>0$

— Matt L.

bạn có thể nói , và thể hiện điều gì trong biến s phức tạp để phân tích tín hiệu.

j

$j$

ω

$\omega$

σ

$\sigma$

— justin

1

@justin: Tôi đã sử dụng làm đơn vị tưởng tượng (như thường lệ trong EE, những người khác gọi nó là ). Và vì , là phần thực của và là phần tưởng tượng của .

j

$j$

i

$i$

s = σ + i ω

$s=\sigma+i\omega$

σ

$\sigma$

s

$s$

ω

$\omega$

s

$s$

— Matt L.

bạn có thể giải thích nó bằng cách sử dụng đặc tính tín hiệu thay vì cách tiếp cận lý thuyết.

— justin

2

tôi chỉ muốn nói rằng quy ước ban đầu là đại diện cho các sin sin phức tạp với số mũ dương. vì vậy một điện áp "phasor" sẽ là

v (t) = V e^{j ω t}

$v(t) = V e^{j \omega t}$

( là một hằng số phức và đại diện cho độ lớn của pha và đại diện cho pha của pha.) Tôi cho rằng chúng ta có thể định nghĩa quy ước là $V$ $|V|$ $\arg\{V\}$

v (t) = V e^{- j ω t}

$v(t) = V e^{-j \omega t}$

nhưng câu hỏi của tôi sẽ là "tại sao phải bận tâm?"

Tại sao một số mũ phức tạp? bởi vì là một hàm riêng (về cơ bản là hàm riêng) của các hệ thống bất biến thời gian tuyến tính (LTI), đó là những gì chúng ta áp dụng biến đổi Fourier và Laplace. khi đi vào một hệ thống LTI, một cái gì đó lần xuất hiện. $e^{s t}$ $e^{s t}$ $e^{s t}$

Các hệ thống LTI có thể được mô tả hoàn toàn bởi, hoặc có mối quan hệ đầu vào / đầu ra được mô tả hoàn toàn bằng đáp ứng xung . mô tả đó là tích chập: $h(t)$

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ

$y(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) \ d \tau$

nếu đầu vào là

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{s t}$

đầu ra là

\begin{aligned} y (t) & = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) e^{s (t - τ)} d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) e^{- s τ} d τ e^{s t} \\ = H (s) e^{s t} \\ = H (s) x (t) \end{aligned}

$\begin{align} y(t) & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) \ d \tau \\ & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{s (t-\tau)} \ d \tau \\ & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{-s \tau} \ d \tau \ \ e^{s t} \\ & = H(s) \ e^{s t} \\ & = H(s) \ x(t) \\ \end{align}$

vì vậy là một hàm riêng và giá trị riêng, thứ chia tỷ lệ hàm riêng trong hệ thống LTI là và liên quan trực tiếp đến . $x(t)=e^{s t}$ $H(s)$ $h(t)$

phần còn lại là về Fourier. vì vậy Fourier tổng quát hóa một chút, đầu tiên với một định kỳ mà Fourier đặt ra có thể được biểu diễn bằng các hình sin đều có cùng thời gian với . $x(t)$ $x(t)$

x (t + T) = x (t) \forall t

$x(t+T) = x(t) \quad \forall t$

x (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] e^{j \frac{2 π k}{T} t}

$x(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t}$

nó vẫn là quy ước ban đầu: xác định tín hiệu là một phasor . số mũ dương vẫn còn. là "hệ số Fourier" . $e^{j \omega t}$ $X[k]$

vì vậy chúng tôi biết rằng đầu ra là

\begin{aligned} y (t) & = \sum_{k = - \infty}^{\infty} H (j \frac{2 π k}{T}) X [k] e^{j \frac{2 π k}{T} t} \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} Y [k] e^{j \frac{2 π k}{T} t} \end{aligned}

$\begin{align} y(t) & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} H\left(j \frac{2 \pi k}{T} \right) X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} Y[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} \\ \end{align}$

một hàm tuần hoàn khác, có cùng thời kỳ, nhưng với các hệ số Fourier khác nhau.

vì vậy, dương theo số mũ. $\omega$

Vậy những hệ số Fourier đó là gì?

\begin{aligned} \int_{0}^{T} x (t) e^{- j \frac{2 π m}{T} t} d t & = \int_{0}^{T} x (t) e^{- j \frac{2 π m}{T} t} d t \\ = \int_{0}^{T} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] e^{j \frac{2 π k}{T} t} e^{- j \frac{2 π m}{T} t} d t \\ = \int_{0}^{T} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] e^{j \frac{2 π (k - m)}{T} t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] \int_{0}^{T} e^{j \frac{2 π (k - m)}{T} t} d t \end{aligned}

$\begin{align} \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt & = \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt \\ & = \int\limits_{0}^{T} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt \\ & = \int\limits_{0}^{T} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] \int\limits_{0}^{T} e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt \\ \end{align}$

với mọi trong tổng trong đó , tích phân bằng 0 nên số hạng trong tổng là 0. $k$ $k \ne m$

\int_{0}^{T} e^{j \frac{2 π (k - m)}{T} t} d t = {\begin{cases} 0, & for k \neq m \\ T, & for k = m \end{cases}

$\int\limits_{0}^{T} e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt = \begin{cases} 0, & \text{for } k \ne m \\ T, & \text{for } k = m \end{cases}$

đối với số hạng khác không, khi , chúng ta có $k=m$

\int_{0}^{T} x (t) e^{- j \frac{2 π m}{T} t} d t = X [m] T

$\int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt = X[m] T$

vì thế

X [m] = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x (t) e^{- j \frac{2 π m}{T} t} d t

$X[m] = \frac{1}{T} \ \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt$

đó là nơi số mũ âm xuất phát. chúng ta cần số mũ đó là âm để chỉ thuật ngữ trong phép tính tổng tồn tại (khi và ), do đó cô lập một duy nhất để chúng ta biết nó là gì. nếu không, nó sẽ là thuật ngữ còn tồn tại và chúng ta sẽ phải thay đổi quy ước trong định nghĩa ban đầu của chúng ta về . $m^{\text{th}}$ $k=m$ $e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t}=1$ $X[m]$ $-m^{\text{th}}$ $x(t)$

về cơ bản, đây vẫn là trường hợp đại diện cho chuỗi Fourier được khái quát thành không định kỳ , trong đó phép tính tổng trở thành một tích phân. bởi vì chúng tôi xác định tín hiệu của chúng tôi là một loại tổng hợp tích phân của các hàm riêng hàm mũ (với số mũ dương) này: $x(t)$

x (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) e^{j ω t} d ω

$x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} X(j \omega) e^{j \omega t} \ d \omega$

một lần nữa, để có được các "hệ số" Fourier đó, chúng ta cần một số mũ âm:

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j \omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt$

Khái quát Laplace hơn nữa bằng cách cho phép điều đó hoàn toàn tưởng tượng giá trị là một giá trị phức tạp tổng quát hơn, . nhưng điều đó không thay đổi quy ước dấu hiệu. $j \omega$ $s = \sigma + j \omega$

— robert bristow-johnson
nguồn

bạn có thể nói tại sao là một hàm eigen không?

e^{s t}

$e^{st}$

— justin

chắc chắn, tôi đã có. đầu tiên, phương trình đầu vào / đầu ra chung cho hệ thống LTI là phương trình tích chập: xác định đầu vào là sau đó cắm nó vào phương trình tích chập và xem những gì đi ra cho . Bạn có cần ai đó giải thích tích phân tích chập được dẫn xuất không?

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ

$y(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) \ d \tau$

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{s t}$

y (t)

$y(t)$

— robert bristow-johnson

: Tôi muốn biết là chỉ dành cho đầu vào chúng tôi sẽ nhận được một đầu ra về mặt hoặc có bất kỳ chức năng nào khác không? Cụ thể hơn tôi muốn biết tại sao lại nhấn mạnh vào ' (x có thể phức tạp hoặc thực) trong hầu hết các biến đổi như DFT, Laplace tranform, biến đổi Z, v.v.

e^{s t}

$e^{st}$

e^{s t}

$e^{st}$

e^{x t}

$e^{xt}$

— justin

tôi tin rằng dạng hàm mũ, , là dạng hàm duy nhất cho một hàm riêng cho các hệ thống bất biến thời gian tuyến tính (LTI). hãy nhớ rằng chỉ định nghĩa, một cách tổng quát, các cơ sở của mũ từ , vì vậy bất kỳ hàm mũ của hoạt động. tôi không tin rằng bất kỳ dạng hàm tổng quát nào khác sẽ đi qua tích phân tích chập mà không thay đổi dạng của nó. có thể một chuỗi sẽ: đó là về nó.

x (t) = e^{s t}

$x(t)=e^{st}$

s

$s$

e^{s t} = {(e^{s})}^{t} = a^{t}

$e^{st} = \left(e^s\right)^t = a^t$

t

$t$

x (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} t^{n}

$x(t) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n t^n$

— robert bristow-johnson

2

Số mũ âm trong biến đổi chuyển tiếp là cần thiết và không thể tránh khỏi, bởi vì các tiên đề sản phẩm bên trong cho các vectơ hoặc hàm phức tạp không có liên hợp là không nhất quán.

Ví dụ, sản phẩm bên trong của một vectơ phức tạp với chính nó sẽ không thực và không âm nếu không có liên hợp.

— Patrick
nguồn