Tại sao biến đổi Fourier của lược Dirac là lược Dirac?

16

Điều này không có ý nghĩa với tôi, bởi vì bất đẳng thức Heisenberg nói rằng ~ 1. $\Delta t\Delta \omega$

Do đó, khi bạn có một cái gì đó hoàn toàn cục bộ trong thời gian, bạn sẽ có được thứ gì đó được phân phối hoàn toàn theo tần số. Do đó, mối quan hệ cơ bản trong đó là toán tử biến đổi Fourier . $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ $\mathfrak{F}$

Nhưng đối với lược Dirac , áp dụng biến đổi Fourier, bạn nhận được một lược Dirac khác. Theo trực giác, bạn cũng nên có được một dòng khác.

Tại sao trực giác này thất bại?

fourier-transform

— Carlos - Mongoose - Nguy hiểm
nguồn

13

Tôi tin rằng sai lầm là tin rằng một chiếc lược Dirac được bản địa hóa kịp thời. Không phải vì nó là một hàm tuần hoàn và do đó nó chỉ có thể có các thành phần tần số ở bội số tần số cơ bản của nó, tức là tại các điểm tần số riêng biệt. Nó không thể có phổ liên tục, nếu không nó sẽ không theo định kỳ. Cũng giống như bất kỳ hàm tuần hoàn nào khác, một lược Dirac có thể được biểu diễn bằng một chuỗi Fourier, tức là dưới dạng tổng vô hạn của các số mũ phức tạp. Mỗi hàm mũ phức tạp tương ứng với một xung Dirac trong miền tần số ở một tần số khác nhau. Tổng hợp các xung Dirac này cho ra một lược Dirac trong miền tần số.

— Matt L
nguồn

Có, không có lược định kỳ nào được định vị trong biến độc lập tương ứng (thời gian / tần số).

— Peter K.

11

Trực giác của bạn thất bại vì bạn bắt đầu với những giả định sai lầm. Sự không chắc chắn của Heisenberg không nói lên những gì bạn nghĩ. Như bạn đã nói trong câu hỏi của bạn, đó là một sự bất bình đẳng . Nói chính xác là

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

Không có lý do tại sao sản phẩm không chắc chắn phải gần với giới hạn dưới của nó cho tất cả các tín hiệu. Trên thực tế, các tín hiệu duy nhất đạt được giới hạn thấp nhất này là các nguyên tử Gabor. Đối với tất cả các tín hiệu khác, hy vọng nó sẽ lớn hơn và thậm chí có thể là vô hạn.

— Nhạc Jazz
nguồn

1

Đúng, nhưng sai lầm chính là nghĩ rằng một chiếc lược Dirac được bản địa hóa kịp thời. Không phải vì nó là định kỳ. Vì vậy, định lý không chắc chắn không nói gì hữu ích về lược Dirac.

— Matt L.

@MattL., Đó không phải là cách tôi hiểu câu hỏi ban đầu. Tôi nghĩ rằng anh ấy thực sự tranh luận rằng tàu dirac hoàn toàn được định vị trong miền gốc của nó và do đó Fourier nên chuyển đổi thành thứ gì đó rất cục bộ.

— Jazzmaniac 6/2/2015

1

OK, có vẻ như có sự hiểu lầm về ý nghĩa của OP đối với 'dòng khác'. Tôi nghĩ rằng điều này đề cập đến một phổ phẳng (giống như quang phổ của xung Dirac mà ông đã đề cập trước đó). Nhưng bạn nghĩ rằng điều này đề cập đến một đường quang phổ, tức là một tần số duy nhất. Ít nhất bây giờ tôi hiểu làm thế nào câu trả lời của bạn có thể trả lời câu hỏi của OP.

— Matt L.

1

@MattL., Tôi thực sự nghĩ rằng anh ấy có nghĩa là biểu diễn đồ họa thông thường của các bản phân phối Dirac khi anh ấy viết "dòng". Trong mọi trường hợp, anh ta sẽ phải làm rõ vì câu hỏi có thể thực sự được đọc theo ít nhất hai cách khác nhau.

— Jazzmaniac 6/2/2015

1

tốt, định nghĩa "tiêu chuẩn" là một tuyên bố vật lý liên quan đến độ không đảm bảo động lượng và vị trí (cụ thể là độ lệch chuẩn) và có trong đó. và ngay cả như vậy, trong trường hợp này, bạn phải xác định nghĩa của " " và " ". hằng số đó (mà bạn chỉ định là ) không thể quá xa sự thống nhất (trong thang đo nhật ký), nhưng không cần phải là trừ khi đến một định nghĩa cụ thể cho " " và " ".

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— robert bristow-johnson

6

Các kỹ sư điện chơi hơi nhanh và lỏng lẻo với hàm delta Dirac, mà các nhà toán học khẳng định không phải là một hàm (hoặc, ít nhất, không phải là hàm "thông thường", mà là "phân phối"). thực tế toán học là nếu "gần như ở mọi nơi" (có nghĩa là tại mọi giá trị của ngoại trừ một số lượng giá trị rời rạc có thể đếm được), thì . $f(t)=g(t)$ $t$

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$

cũng các hàm và bằng nhau ở mọi nơi ngoại trừ tại , tuy nhiên chúng tôi các kỹ sư điện nhấn mạnh rằng tích phân của chúng là khác nhau. nhưng nếu bạn đặt sự khác biệt nhỏ này (và, theo tôi, không thực tế), câu trả lời cho câu hỏi của bạn là: $f(t)=0$ $g(t)=\delta(t)$ $t=0$

hàm lược Dirac là một hàm tuần hoàn của giai đoạn và do đó có một Chuỗi Fourier:
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ $T$ ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
nếu bạn tạo ra các hệ số, , của chuỗi Fourier bạn nhận được: $c_n$

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

vì vậy loạt Fourier cho lược Dirac là

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

điều đó có nghĩa là bạn vừa tóm gọn một loạt các hình sin có biên độ bằng nhau.

Biến đổi Fourier của một hình sin phức tạp duy nhất là:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

và có tính chất tuyến tính này liên quan đến Biến đổi Fourier. phần còn lại của bằng chứng là một bài tập để lại cho người đọc.

— robert bristow-johnson
nguồn

1

@Jazzmaniac, đó là một sự giả dối. khi đã tôi từng được chiếu cố đối với các nhà toán học? (tôi nghĩ rằng bạn đang chiếu một chút.) BTW, đã 38 năm kể từ khi tôi có 2 học kỳ phân tích chức năng ở cấp độ sau đại học. không nhớ tất cả mọi thứ, nhưng tôi chắc chắn nhớ không gian số liệu là gì, không gian số liệu được định mức (tôi nghĩ đôi khi chúng được gọi là "không gian Banach") và không gian sản phẩm bên trong (đôi khi được gọi là "không gian Hilbert") và là gì chức năng là (bản đồ từ một trong số này đến một số). và tôi biết không gian tuyến tính là gì. về , tôi không ngại họ khỏa thân.

δ (t)

$\delta(t)$

— robert bristow-johnson

Bạn tiếp tục với một lập luận sai cho thấy các nhà toán học không được 1 khi họ tích hợp vào phân phối Dirac. Chà, bạn không thể chứng minh rõ hơn rằng bạn chưa hiểu về phân phối Dirac, ngay cả khi bạn đã tham gia một lớp học về phân tích chức năng. Nó không cần các kỹ sư điện như bạn để "sửa chữa" toán học. Và tôi sẽ tiếp tục chỉ ra điều đó cho bạn cho đến khi bạn ngừng nói về các nhà toán học như thế. Đó hoàn toàn là sự lựa chọn của bạn.

— Jazzmaniac 7/2/2015

đó cũng là một sự giả dối, @Jazzmaniac. Tôi đang nói rằng, phù hợp với những gì các nhà toán học nói với chúng ta, hàm delta Dirac không thực sự là một hàm (mặc dù các kỹ sư điện của chúng tôi không lo lắng về sự khác biệt đó và đối phó với nó như thể nó là một hàm) bởi vì đó là một hàm hàm số gần như không có ở mọi nơi, tích phân sẽ bằng không. tại sao bạn cứ nói sai về tôi rìu bạn đang mài là gì?

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson "các kỹ sư điện chơi hơi nhanh và lỏng lẻo với chức năng delta Dirac." Paul Dirac là một kỹ sư điện. Claude Shannon cũng là một kỹ sư điện. Tôi khuyên bạn không nên đưa ra những tuyên bố chung chung và không chính xác như vậy. Bạn tự nhận là một kỹ sư điện và hiểu rõ lý thuyết phân phối.

— Đánh dấu Viola

gần như mọi sách giáo khoa kỹ thuật điện đại học về Lý thuyết hệ thống tuyến tính hoặc Tín hiệu và hệ thống hoặc một số tên tương tự, sẽ giới thiệu và coi Dirac Delta là một trường hợp giới hạn của "đồng bằng non trẻ" . ví dụ: hoặc một số đơn vị khác chức năng xung khu vực mà bạn có thể làm cho gầy. Tôi sẽ không bị thuyết phục rằng trong các bài báo được xuất bản, những người như Shannon hoặc Dirac (không biết điều đó) sẽ gắn bó với sự thật bảo thủ: và .

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$

— robert bristow-johnson

1

Tôi sẽ cố gắng đưa ra một trực giác. Cách mà chúng ta có thể nghĩ là: "Một đồng bằng Dirac cung cấp cho chúng ta 1 miền tần số. Bây giờ tôi cho số lượng Dirac deltas vô hạn. Tôi có nên lấy DC cao hơn không?" Bây giờ chúng ta hãy xem liệu bằng cách thêm tất cả các thành phần tần số được đề cập trong lược Dirac trong miền tần số (FD), chúng ta có được một lược Dirac khác trong miền thời gian (TD) không. Chúng tôi đang thêm các dạng sóng liên tục và nhận được đồng bằng tại các điểm riêng biệt. Nghe có vẻ lạ.

Quay trở lại FD. Chúng tôi có một lược Dirac với khoảng cách . Nói một cách dễ hiểu, chúng ta có các đồng bằng ở , v.v. Do đó, chúng tôi có số lượng cosin và vô hạn, cụ thể là , v.v. $\omega_0$ $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$

Hãy xem xét các điểm trong miền thời gian tương ứng với . Tất cả các sóng cosin ở trên sẽ cho chúng ta giá trị 1. Do đó tất cả chúng cộng lại và cho chúng ta giá trị khác không tại các điểm đó. Bây giờ những gì về t khác? Chúng ta cần phải được thuyết phục rằng tất cả họ sẽ cộng lại thành không. $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$

Bây giờ hơi lệch, hãy xem xét một dạng sóng . Chúng tôi biết rằng trừ khi k có thể được biểu thị dưới dạng một phân số nhân với , thì đó là một chu kỳ. Điều đó nghĩa là gì? Không có một mẫu lặp lại duy nhất. Mỗi mẫu là duy nhất. Nhìn từ góc độ khác, chúng ta có vô số mẫu là duy nhất và là một phần của sóng cosin. Điều này có nghĩa là lấy tất cả các điểm vô hạn, chúng ta sẽ có thể xây dựng một sóng cosin TIẾP TỤC duy nhất hoàn toàn một lần. Nếu là định kỳ thì sao? Chúng ta đã biết rằng tổng số mẫu sẽ bằng 0 theo định kỳ dựa trên giá trị của k. Do đó, tổng của tất cả các mẫu sẽ cho chúng ta 0 cho bất kỳ giá trị nào của k, ngoại trừ $cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ $\pi$ $cos(kn)$ $cos(kn)$ $k = 2\pi$ bội số.

Quay trở lại vấn đề ban đầu của chúng tôi: Bây giờ chúng tôi có một tùy ý . Bây giờ chúng tôi có .... làm giá trị tại . Nhưng chúng tôi đã chứng minh tổng vô hạn này = 0 cho bất kỳ t nào ngoại trừ , trong đó tất cả các cosin này cộng lại để cung cấp cho delacas dirac. $t=t_0 \neq 2r\pi$ $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ $t=t_0$ $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$

— Subramanian TR
nguồn