Làm thế nào để khái quát hóa biến đổi Fourier?

Biến đổi Fourier lấy tín hiệu và tách nó thành một chuỗi các sóng hình sin và cos.

Tôi được bảo rằng có thể chia tín hiệu thành một số chức năng khác. Câu hỏi của tôi là: Làm thế nào để bạn làm điều này?

Tôi đoán rằng tập hợp các hàm bạn sử dụng sẽ phải có một số thuộc tính nhất định để nó hoạt động. (Ví dụ: bạn phải có "đủ" các chức năng khác nhau để nắm bắt tất cả thông tin của tín hiệu gốc.) Làm thế nào để bạn biết liệu bộ chức năng của bạn có phù hợp không? Và sau đó làm thế nào để bạn thực hiện việc chia tách thực tế?

Biến đổi Fourier chỉ là một trong rất nhiều biến đổi khác nhau làm thay đổi cách biểu diễn (thường) một chuỗi thời gian từ miền thời gian, sang miền khác (thường là miền tần số nhưng các biểu diễn khác tồn tại cho các biến đổi khác như thời gian / tần số, thời gian / quy mô và những người khác).

Bạn có thể tìm thấy nhiều thông tin hơn về các biến đổi nói chung từ danh sách các bài viết Wikipedia liệt kê một số biến đổi phổ biến và thường được sử dụng. (Lúc đầu bạn có thể muốn tập trung vào Biến đổi rời rạc và tích phân)

Ngoài ra, bạn có thể kiểm tra cuộc thảo luận gần đây này về cách biến đổi Wavelet, đạt được sự phân tách tương tự như biến đổi Fourier.

Cuối cùng, khi bạn có được sự sang trọng để có được đồng thời nhiều chuỗi thời gian khác nhau từ cùng một hiện tượng, bạn thậm chí có thể sử dụng các kỹ thuật như Phân tích thành phần chính (PCA) và Phân tích thành phần độc lập (ICA) để chuyển đổi tín hiệu thành tổng các dạng sóng cơ bản thực sự được trích xuất từ ​​chính tín hiệu (thay vì được đặt trước như được thực hiện trong Fourier (và các biến đổi có liên quan) hoặc Wavelets).

Ngoài các câu trả lời được đưa ra ở đây, tôi nên thêm rằng có những tình huống trong đó tính duy nhất của sự phân tách hoặc thậm chí tính hoàn chỉnh không phải là thuộc tính được tìm kiếm nhiều nhất. Thay vào đó, một mô tả "nhỏ gọn" với càng ít hệ số càng tốt, và với hiệu ứng này, thật hữu ích khi có một cơ sở phân rã không bị ràng buộc với một "họ" các yếu tố (nói sóng hình sin). Trong những tình huống như vậy, bạn thực sự có thể đặt bất cứ thứ gì bạn muốn vào cơ sở bạn sẽ sử dụng cho việc phân tách của mình và việc phân tách được thực hiện bằng thuật toán Theo đuổi phù hợp. Điều này chứng tỏ rất phù hợp với tín hiệu âm thanh, có thể biểu hiện cả hai phân đoạn rất ổn định, bền vững (âm thanh dài, phân rã, gần như thuần khiết của một nốt nhạc rung), nhưng cũng là phần thoáng qua (sự bùng nổ năng lượng rất rộng ở đầu của ghi chú).

Biến đổi Fourier là một trong nhiều cách để biểu thị một hàm dưới dạng tổng của một số hàm khác, thường được gọi là các hàm cơ bản. Điều này có thể được thực hiện vì hai lý do

1. Hàm cơ sở có thể có ý nghĩa vật lý và / hoặc cung cấp một số cái nhìn sâu sắc về bản chất của chức năng ban đầu. Hàm cơ sở có thể được xem là "thành phần cấu thành" của hàm.
2. Nó có thể làm cho toán dễ dàng hơn. Thay vì thực hiện một số thao tác trên chức năng, bạn có thể chia nó thành các chức năng cơ bản, hoạt động trên các chức năng cơ bản và sau đó đưa nó trở lại với nhau.

Biến đổi Fourier phổ biến vì cả hai: các hàm cơ bản là sóng hình sin với tham số "tần số" có ý nghĩa vật lý được xác định rõ và chúng cũng bất biến đối với các hệ thống bất biến thời gian tuyến tính. Tức là sóng hình sin cho ra sóng hình sin. Cả hai thuộc tính đều khá hữu ích. Biến đổi Fourier không phải là cách duy nhất để làm việc này. Bất kỳ tập hợp các hàm độc lập tuyến tính có thể được sử dụng. Phổ biến là các cơ sở trực giao vì nó làm cho các biến đổi thực sự dễ dàng.