Ý nghĩa thực sự của một hệ thống pha tối thiểu là gì?

29

Ý nghĩa thực sự của một hệ thống pha tối thiểu là gì? Đọc bài viết trên Wikipedia và Oppenheim là một số trợ giúp, trong đó, chúng tôi hiểu rằng đối với một hệ thống LTI , pha tối thiểu có nghĩa là nghịch đảo là nguyên nhân và ổn định. (Vậy có nghĩa là số không và cực nằm trong vòng tròn đơn vị), nhưng "pha" và "tối thiểu" phải làm gì với nó? Chúng ta có thể nói một hệ thống là pha tối thiểu bằng cách xem xét đáp ứng pha của DFT bằng cách nào đó không?

filters filter-design

— TheGrapeBeyond
nguồn

Chào mừng bạn đến xử lý tín hiệu! Đâ là một câu hỏi tuyệt vời. Hãy chắc chắn đọc Câu hỏi thường gặp của chúng tôi có chứa nhiều thông tin hữu ích về trang web.

— Phonon

19

Có thể thấy mối quan hệ của "tối thiểu" với "pha" trong hệ thống hoặc bộ lọc pha tối thiểu nếu bạn vẽ pha không được bao bọc theo tần số. Bạn có thể sử dụng sơ đồ cực 0 của đáp ứng hệ thống để giúp thực hiện một đồ thị đồ họa gia tăng của đáp ứng tần số và góc pha. Phương pháp này giúp thực hiện một sơ đồ pha mà không có sự gián đoạn gói pha.

Đặt tất cả các số không bên trong vòng tròn đơn vị (hoặc trong nửa mặt phẳng bên trái trong trường hợp thời gian liên tục), trong đó tất cả các cực phải cũng như để ổn định hệ thống. Cộng các góc từ tất cả các cực và âm của các góc từ tất cả các số 0, để tính tổng pha cho một điểm trên vòng tròn đơn vị, vì điểm tham chiếu đáp ứng tần số đó di chuyển xung quanh vòng tròn đơn vị. Âm mưu pha so với tần số. Bây giờ so sánh âm mưu này với một âm mưu tương tự cho sơ đồ cực không với bất kỳ số 0 nào được hoán đổi bên ngoài vòng tròn đơn vị (pha không tối thiểu). Độ dốc trung bình chung của đường có tất cả các số 0 bên trong sẽ thấp hơn độ dốc trung bình của bất kỳ đường nào khác thể hiện cùng một phản ứng của hệ thống LTI (ví dụ với số 0 được phản ánh bên ngoài vòng tròn đơn vị). Điều này là do "gió lên" trong góc pha hầu hết bị hủy bởi "

Sự sắp xếp này, tất cả các số 0 bên trong vòng tròn đơn vị, do đó tương ứng với tổng tăng pha tối thiểu, tương ứng với tổng độ trễ pha trung bình tối thiểu, tương ứng với độ nén tối đa theo thời gian, đối với bất kỳ tập hợp cực và ổn định nhất định nào với đáp ứng cường độ chính xác cùng tần số. Do đó, mối quan hệ giữa "tối thiểu" và "pha" đối với sự sắp xếp cực và cực đặc biệt này.

Cũng xem hình ảnh từ cũ của tôi với tay cầm quây kỳ lạ trong kho lưu trữ usenet comp.dsp cổ đại: https://groups.google.com/d/msg/comp.dsp/ulAX0_Tn65c/Fgqph7gqd3kJ

— hotpaw2
nguồn

Hmm, thật thú vị - vì vậy chúng ta CÓ THỂ nói rằng một hệ thống là pha nhỏ bằng cách nhìn vào phản hồi pha từ DFT của nó thì nó trông như thế nào, đúng không?

— Spacey

@Mohammad: Một vấn đề khi sử dụng DFT cho phản hồi pha là giai đoạn hủy kết nối, có thể có hoặc không có giải pháp dạng duy nhất hoặc dạng đóng. (Đặc biệt là sự cố nếu có "sự không liên tục" trong đáp ứng xung.)

— hotpaw2

@ hotpaw2 Với việc hủy ghép nối, chúng tôi đang hoàn tác modulo 2 * pi hoặc -2 * pi, (hai cách thực hiện), nhưng ngay cả sau đó tôi không nghĩ đó sẽ là một vấn đề.

— Spacey

2

hotpaw- Tương tự lớn. Tôi có một cuốn sách sử dụng Nguyên tắc lập luận từ phân tích phức tạp. Đó là một bằng chứng thanh lịch, nhưng không dành cho những người không phải là nhà toán học.

— Bryan

1

@Bryan Điều này có vẻ rất thú vị. Tiêu đề của cuốn sách là gì?

— shamisen

9

Như bạn đã thấy, pha tối thiểu có nhiều ý nghĩa vật lý và ý nghĩa. Trường hợp pha đến từ đó, với cường độ đáp ứng tần số nhất định, nó tương ứng với bộ lọc có độ trễ nhóm ít nhất. Nghĩa là, bạn có thể có một vài bộ lọc có cùng cường độ đáp ứng tần số, nhưng một trong số chúng có thể được nhận ra với độ trễ của bộ lọc nhỏ nhất. Theo nghĩa này, nó rất mong muốn trong các hệ thống điều khiển trong đó độ trễ lọc có thể rất quan trọng đối với tính ổn định. Tôi đang lạm dụng một số ký hiệu ở đây, vì giai đoạn "trì hoãn" có thể có nhiều ý nghĩa, nhưng ý chính là ở đó (và đối với sự chậm trễ của nhóm, đó là sự thật).

Trong các lĩnh vực khác, nếu một hệ thống là một pha tối thiểu, nghịch đảo của nó sẽ có tất cả các cực của nó bên trong vòng tròn đơn vị và là nhân quả. Vì vậy, một hệ thống pha tối thiểu có nghịch đảo ổn định. Điều này rất quan trọng trong nhiều ứng dụng khác vì những lý do rõ ràng. Nếu bạn phải giải một hệ phương trình tuyến tính, biết hệ thống là pha tối thiểu đảm bảo nghịch đảo của nó sẽ là pha tối thiểu, và do đó độ ổn định được đảm bảo (bên ngoài bất kỳ hiệu ứng lượng tử hóa nào).

Có thể không rõ ràng nếu một hệ thống là một pha tối thiểu bằng cách nhìn vào DFT. Có một mối quan hệ giữa độ lớn của hệ thống pha tối thiểu và pha của nó, nhưng nó có thể không rõ ràng về mặt trực quan. Tuy nhiên, các bộ lọc mạng thích ứng có tính năng gọn gàng trong đó các bộ lọc pha tối thiểu có thể dễ dàng xác định nếu tất cả các hệ số phản xạ nhỏ hơn hoặc bằng một độ lớn. Bằng cách đó, các bộ lọc được tính toán thích ứng có thể được xác định nếu chúng hoạt động ổn định với ít logic.

— Bryan
nguồn

4

s

$s$

À đúng rồi, điểm xuất sắc. Đối với những người không quen thuộc với phép biến đổi song tuyến tính (có hiệu quả ánh xạ mặt phẳng bên trái vào vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng z), đó là một sự khác biệt quan trọng. Cảm ơn.

— Bryan

1

"Mối quan hệ" giữa biên độ log và pha tối thiểu là biến đổi Hilbert

— Hilmar

Bộ lọc pha tối thiểu dường như là IIR, nhưng pha tối thiểu của chúng so với FIR như thế nào?

— TheGrapeBeyond

2

z_{i}

$z_i$

| z_{i} | > 1

$|z_i| > 1$

z_{i}

$z_i$

\frac{1}{z_{i}^{*}}

$\frac{1}{z_i^*}$

3

Σ_{tôi = = 0}^{k} h [tôi]^{2} = = m tôi n, k ε N

$\sum_{i=0}^{k}h[i]^2 = min, k\epsilon \mathbb{N}$

— Hilmar
nguồn

2

h [n]

$h[n]$

2

đọc hiểu

Bài viết này dường như có một số sự khôn ngoan về chủ đề của các hệ thống pha tối thiểu:

John Bechhoefer, " Kramers-Kronig, Bode, và ý nghĩa của số không ", Tạp chí Vật lý Hoa Kỳ 79 , 10 (2011).

— ngòi nổ
nguồn