Một chức năng cửa sổ FFT tốt để từ chối DC là gì?

Tôi đang sử dụng FFT để phân tích về cơ bản đường bao công suất của tín hiệu (xem ở đây để biết thông tin về dự án chứa) và, vì các số công suất luôn dương, để loại bỏ thành phần DC tôi muốn sử dụng cửa sổ chức năng là 50/50 dương và âm, so với hàm toàn dương thông thường.

Tôi đã sử dụng chức năng " đỉnh phẳng ", loại bỏ sự a0thiên vị và chuyển đổi nó từ cosin thành sin, nhưng tôi không chắc đó là tối ưu (hoặc thậm chí có ý nghĩa).

Bất cứ đề nghị nào?

Đạo hàm thứ nhất của hầu hết các hàm cửa sổ liên tục phổ biến (von Hann, v.v.) sẽ từ chối DC, tuy nhiên vẫn sẽ có đáp ứng tần số cường độ tương tự như hàm của cửa sổ gốc; vì vậy bạn vẫn có thể sử dụng tiêu chí "lòng tốt" ban đầu của mình để chọn cửa sổ, nếu nó không liên quan đến pha.

Nếu bạn quan tâm đến việc phân tích quang phổ trên tín hiệu có thành phần DC lớn và bạn muốn triệt tiêu đỉnh DC đó, thì chức năng cửa sổ không phải là điều bạn muốn. Như một số câu trả lời khác đã lưu ý, bộ lọc đường cao tốc (hoặc, được xem khác nhau, bộ lọc notch với notch ở tần số 0) là một giải pháp thích hợp.

Để hiểu lý do tại sao, bạn cần suy nghĩ về việc áp dụng chức năng cửa sổ nào cho đáp ứng tần số của từng đầu ra DFT. DFT được định nghĩa là:

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{\frac{-j2 \pi n k}{N}}$$

Một cách giải thích về cách thức hoạt động của DFT là một ngân hàng các bộ lọc ở tần số cách đều nhau giữa và . Lấy lại số tiền trên như sau:$N$$-\frac{f_s}{2}$$\frac{f_s}{2}$

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x_k[n]$$

Ở đâu:

$$x_k[n] = x[n] e^{\frac{-j2 \pi n k}{N}}$$

Vì vậy, đầu ra DFT thứ được tạo bằng cách lấy tín hiệu đầu vào đầu tiên và nhân nó với một số mũ phức tạp ở tần số để tạo ra tín hiệu chuyển . Tín hiệu kết quả sau đó được tổng hợp qua cửa sổ mẫu để mang lại đầu ra DFT . Đây thực sự là một bộ lọc trung bình di động (đôi khi được gọi là bộ lọc boxcar), có đáp ứng xung có thể được mô tả là:$k$$x[n]$$\frac{-2\pi k}{N}$$x_k[n]$$N$$X[k]$

$$b[n] = \begin{cases} 1,\ x = 0, 1, \ldots , N-1 \\ 0,\ \text{otherwise} \end{cases}$$

Có thể tìm thấy đáp ứng cường độ của bộ lọc boxcar bằng cách sử dụng biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) của đáp ứng xung đó:

$$|H(f)| = \left|\frac{\sin\left(N \pi\frac{f}{f_s}\right)}{\sin\left(\pi\frac{f}{f_s}\right)}\right|$$

Đây là một hạt nhân Dirichlet và đôi khi được gọi là "chân thành định kỳ" vì nó trông hơi giống một hàm chân thành nhưng lặp lại theo định kỳ, điều mà một chân không làm được. Biểu thức này đưa ra đáp ứng cường độ của từng đầu ra DFT, trong đó được đo là tần số bù từ tần số trung tâm của thùng đầu ra tương ứng. Điều này minh họa hiệu ứng rò rỉ quang phổ ; mỗi đầu ra DFT có đáp ứng tần số bao phủ một số dải liên tục của tín hiệu đầu vào, không chỉ tần số trung tâm riêng biệt của từng đầu ra.$f$

Bây giờ hãy xem xét cách mọi thứ thay đổi nếu bạn áp dụng chức năng cửa sổ cho tín hiệu đầu vào trước khi thực hiện DFT:$x[n]$

$$\begin{align*} X[k] &= \sum_{n=0}^{N-1} w[n] x[n] e^{\frac{-j2 \pi n k}{N}} \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} w[n] x_k[n] \end{align*}$$

Với chức năng cửa sổ được đặt đúng chỗ, được chuyển xuống có hiệu quả đi qua bộ lọc FIR với đáp ứng xung được mô tả bởi chức năng cửa sổ. Vì vậy, đáp ứng cường độ trên mỗi đầu ra của DFT là:$x_k[n]$

$$|H(f)| = |W(f)|$$

Trong đó DTFT của hàm cửa sổ . Bây giờ lưu ý rằng nếu bạn đã chọn một hàm cửa sổ có số 0 tại DC và sử dụng nó để phát hành trước trước DFT, thì bạn thực sự sẽ gây ra hiệu ứng không mong muốn của việc loại bỏ không chỉ DC trong phổ kết quả, mà cả tần số trung tâm của mỗi một trong các đầu ra DFT. Đây có lẽ không phải là những gì bạn muốn.w [ n ] x [ n $W(f)$$w[n]$$x[n]$

Vì vậy, nếu bạn thực sự chỉ muốn hủy thành phần DC của tín hiệu, loại bỏ nó thông qua một số loại tiền xử lý khác, không phải là cửa sổ miền thời gian, là cách nên làm. Bạn có thể sử dụng bộ lọc đường cao tốc tuyến tính với tần số cắt rất thấp hoặc trừ trung bình ước tính khỏi tín hiệu trước tiên. Lựa chọn giữa các phương pháp này nên dựa trên những ràng buộc khác mà hệ thống của bạn có.

Tôi không nghĩ sử dụng chức năng cửa sổ là một cách tốt để loại bỏ DC. Như endolith đã đề cập, một phương pháp phổ biến chỉ là trừ đi giá trị trung bình trước khi cửa sổ. Một lựa chọn khác là áp dụng bộ lọc thông cao cho tín hiệu của bạn trước khi phân tích, với tần số cắt khoảng 10 Hz.