Làm cách nào để khớp hình elip với dữ liệu 2D

Tôi muốn tìm sự phù hợp "tốt nhất" của hình elip với các hình dạng liền kề, có thể lõm như:

Tôi đã thử những gì?

Tôi nghĩ rằng người ta có thể chỉ định hướng của trục chính và trục phụ của hình elip bằng cách ánh xạ các giá trị pixel vào tọa độ, có nghĩa là trừ và lưu hai hàm riêng lớn nhất từ ​​PCA. Dường như hoạt động khá tốt trong việc tìm hướng:$\vec a, \vec b$

Vấn đề của tôi là xác định độ dài của hai vectơ này. Hiện tại, tôi đã sử dụng , từ giá trị bản địa của PCA. Điều này dường như đánh giá thấp chiều dài. Làm cách nào để xác địnhvàhoặc cách khác, phù hợp nhất với một hình elip cho các hình dạng này?$\sqrt \lambda_1$ $\sqrt \lambda_2$$|\vec a|$$|\vec b|$

Theo dõi câu trả lời đã bị xóa của tôi ... Nếu bạn lấy một hình elip đầy và chiếu tất cả các điểm lên trục , nhiều điểm sẽ được chiếu gần gốc hơn so với cực trị, trong phân bố hình tròn. Không phải là phân phối gaussian và không phải là phân phối đồng nhất mà tôi đã đề cập trong tương tự 1-D trong câu trả lời bị xóa của tôi. Phân phối kết quả thực sự có pdf và từ đó bạn có thể tính toán độ lệch chuẩn là .$x$$p(x) = \sqrt{(1 - (\frac{x}{r})^2)}$$\frac{r}{2}$

Do đó, nếu dữ liệu được phân bố đồng đều ở bên trong hình elip của bán kính (có trục là trục và ), độ lệch chuẩn của tọa độ là và của tọa độ là . Vì vậy, hệ số hiệu chỉnh bạn cần sử dụng chỉ đơn giản là 2.$a, b$$x$$y$$x$$\frac{a}{2}$$y$$\frac{b}{2}$

Dưới đây là một ví dụ hoạt động trong việc python phục hồi trung tâm (ma trận dịch), ma trận xoay và bán kính của một hình elip từ các điểm được lấy mẫu ngẫu nhiên từ bên trong của nó:

import numpy

# Generate some points distributed uniformely along an ellipse
x = 2 * (numpy.random.rand(10000, 1) - 0.5)
y = 2 * (numpy.random.rand(10000, 1) - 0.5)
d = (x / 0.5) ** 2 + (y / 0.25) ** 2
inside = numpy.where(d < 1)[0]
x = x[inside]
y = y[inside]
data = numpy.hstack((x, y)).T

# Now rotate by 0.5 rad and translate it to (4, -8)
angle = 0.5
rotation = numpy.array([
    [numpy.cos(0.4), -numpy.sin(0.4)],
    [numpy.sin(0.4), numpy.cos(0.4)]])

data = numpy.dot(rotation, data)
data[0, :] += 4
data[1, :] -= 8

# Step 1: center the data to get the translation vector.
print 'Translation', data.mean(axis=1)
data -= numpy.reshape(data.mean(axis=1), (2, 1))

# Step 2: perform PCA to find rotation matrix.
scatter = numpy.dot(data, data.T)
eigenvalues, transform = numpy.linalg.eig(scatter)
print 'Rotation matrix', transform

# Step 3: Rotate back the data and compute radii.
# You can also get the radii from smaller to bigger
# with 2 / numpy.sqrt(eigenvalues)
rotated = numpy.dot(numpy.linalg.inv(transform), data)
print 'Radii', 2 * rotated.std(axis=1)

Kiểm tra hình vuông nhỏ nhất trực tiếp Lắp hình elip của Fitzgftime et al. Đó là một vấn đề eigenvalue đơn giản, kích thước không tỷ lệ với số pixel trong mẫu của bạn! Bước duy nhất phụ thuộc vào số lượng pixel bạn ném vào đó là tính toán của ma trận phân tán, vẫn là .$O(n)$