sự khác biệt giữa

Tôi đang cố gắng để hiểu Fourier Transform và Laplace Transform. Sự khác biệt giữa $X(j\omega)$ và $X(\omega)$ ký hiệu?

ý nghĩa của $j\omega$ ? Là nó đại diện cho tần số? Nếu có, ý nghĩa của tần số tưởng tượng là gì?

Cảm ơn trước.

fourier-transform laplace-transform

— cây xanh
nguồn

Biến đổi Laplace bao trùm toàn bộ mặt phẳng 2D S. Biến đổi Fourier chỉ là lát 1D của mặt phẳng đó dọc theo trục jω

— endolith

Cả hai ký hiệu là phổ biến và chính xác. Như Yuri Nenakhov đã chỉ ra, lợi thế của lập luận $j\omega$ là nó trùng với biến phức (biến đổi Laplace) $s$ khi phần thực của nó bằng không. Lưu ý rằng trong phức tạp $s$ -thủy trục tần số là trục tưởng tượng. Vì thế $j\omega$ không có gì để làm với tần số phức tạp (mà không có ý nghĩa).

Vì vậy, nếu biến đổi Laplace $X(s)$ của một tín hiệu $x(t)$ tồn tại và nếu trục ảo nằm trong vùng hội tụ của nó, thì biến đổi Fourier có được bằng cách cài đặt $s=j\omega$ .

Lưu ý rằng điều này không hoạt động nói chung! Nói chung, bạn không thể có được biến đổi Fourier bằng cách thay thế $s$ với $j\omega$ và ngược lại. Hai điều kiện phải được thỏa mãn để điều này dẫn đến một kết quả chính xác:

Cả hai biến đổi phải tồn tại (theo nghĩa là tín hiệu tương ứng $x(t)$ có một biến đổi Laplace và biến đổi Fourier).
Trục tưởng tượng $s=j\omega$ phải nằm trong vùng hội tụ của biến đổi Laplace.

Một ví dụ thay thế $s$ bởi $j\omega$ không hoạt động, mặc dù cả hai biến đổi đều tồn tại, là chức năng bước:

\begin{aligned} x (t) = u (t) \\ Laplace transform: & X (s) = \frac{1}{s} \\ Fourier transform: & \hat{X} (j ω) = π δ (ω) + \frac{1}{j ω} \neq X (s) |_{s = j ω} \end{aligned}

$\begin{align}&x(t)=u(t)\\\text{Laplace transform: }&X(s)=\frac{1}{s}\\ \text{Fourier transform: }&\hat{X}(j\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\neq X(s)|_{s=j\omega}\end{align}$

— Matt L
nguồn

Tôi không đồng ý với ví dụ của bạn. Rõ ràng, biến đổi Laplace của hàm Heaviside không tồn tại ở s = 0 (và nó tồn tại trên trục tưởng tượng chỉ bằng cách tiếp tục phân tích), do đó yêu cầu của bạn không thành công. Cũng lưu ý rằng biến đổi Fourier và biến đổi Laplace trùng khớp với nhau khi cả hai được xác định.

— Jazzmaniac

@Jazzmaniac: Biến đổi Laplace của hàm bước tồn tại. Nó có một cột tại

s = 0

$s=0$ . Điều này khác với các trường hợp biến đổi Laplace không tồn tại (chẳng hạn như cho

x (t) = \sin (ω t)

$x(t)=\sin(\omega t)$ ). Nếu bạn không nói rằng biến đổi Fourier của

x (t) = u (t)

$x(t)=u(t)$ có thể được lấy từ

X (s)

$X(s)$ bằng cách thiết lập

s = j ω

$s=j\omega$ (đó là sai), tôi không chắc những gì bạn đang nói.

— Matt L.

Tôi đang nói rằng biến đổi Laplace không tồn tại ở s = 0 và nói đúng ra nó thậm chí không tồn tại ở real (s) = 0. Tích phân không đúng không hội tụ ở đó. Bạn có thể khắc phục điều đó bằng cách áp dụng phép gán giá trị gốc Cauchy cho tích phân hoặc bằng cách tiếp tục phân tích biến đổi Laplace ở mức thực (0). Nhưng bất cứ điều gì bạn làm, bạn không thể sửa nó với s = 0. Vì vậy, biến đổi Laplace không tồn tại ở mọi nơi trên trục ảo và nếu bạn thực sự nghiêm ngặt, nó không tồn tại trên trục ảo theo nghĩa thích hợp.

— Jazzmaniac

Đó là lý do tại sao sự bất đồng giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier tại

s = 0

$s=0$ hoặc là

ω = 0

$\omega=0$ là ít nhất bạn có thể mong đợi. Đó không phải là nhiều hơn một sự trùng hợp may mắn sau một số tính chất tốt đẹp của việc tiếp tục phân tích mà bạn nhận được kết quả chính xác tại

s = ω * j

$s=\omega*j$ cho

ω \neq 0

$\omega \neq 0$ . Vì vậy, tôi đồng ý với ví dụ của bạn, nhưng không phải với tiền đề "... mặc dù cả hai biến đổi đều tồn tại ...".

— Jazzmaniac

@Jazzmaniac: OK, nhưng ý tưởng của ví dụ là hiển thị một trường hợp đơn giản với

X (s)

$X(s)$ biến đổi Laplace,

X (j ω)

$X(j\omega)$ không (cho tất cả

ω

$\omega$ ) bằng biến đổi Fourier. Tuy nhiên, cả hai biến đổi tồn tại cho ví dụ đó. Rõ ràng, ROC của

X (s)

$X(s)$ Là

R e {s} > 0

$Re\{s\}>0$ . Hàm bước có biến đổi Laplace và biến đổi Fourier, đó là tất cả những gì tôi muốn nói khi tôi nói cả hai tồn tại. Tôi sẽ thêm hai ví dụ sau, trong đó một trong hai không tồn tại, để làm cho quan điểm của tôi rõ ràng hơn một chút.

— Matt L.

$X(j \omega)$ (đáp ứng tần số) là một biến đổi Fourier của đáp ứng xung của hệ thống. Đây thực sự là một chức năng của tần số ( $\omega$ ) nhưng thường được viết là $X(j \omega)$ bởi vì thay thế $j \omega$ trong công thức với $s$ sẽ cung cấp cho bạn biến đổi Laplace của hệ thống $X(s)$ không có bất kỳ chuyển đổi bổ sung. (Điều này cũng hoạt động theo hướng ngược lại: nếu bạn có ransform Laplace, bạn có thể nhận được đáp ứng tần số bằng cách thay thế $s$ với $j \omega$ .)

— Yuri Nenakhov
nguồn

Lưu ý rằng thay thế

s

$s$ với

j ω

$j\omega$ và ngược lại thường không phải là một cách hợp lệ để có được biến đổi Fourier từ biến đổi Laplace hoặc ngược lại. Xem câu trả lời của tôi.

— Matt L.